2017-2018学年人教版A版高中数学必修一（课件+检测）:2.3幂函数 （2份打包）

课时达标检测（二十） 幂函数 一、选择题 1.如图所示，曲线C1与C2分别是函数y＝xm和y＝xn在第一象限内的图象，则下列结论正确的是(　　) A．n<m<0 B．m<n<0 C．n>m>0 D．m>n>0 解析：选A　由图象可知，两函数在第一象限内递减，故m<0，n<0.由曲线C1，C2的图象可知n<m. 2．幂函数f(x)＝x3m－5(m∈N)在(0，＋∞)上是减函数，且f(－x)＝f(x)，则m可能等于(　　) A．0　　　　　　　　 B．1 C．2 D．3 解析：选B　∵幂函数f(x)＝x3m－5(m∈N)在(0，＋∞)上是减函数，∴3m－5＜0，即m＜.又∵m∈N，∴m＝0,1. ∵f(－x)＝f(x)，∴函数f(x)是偶函数． 当m＝0时，f(x)＝x－5是奇函数； 当m＝1时，f(x)＝x－2是偶函数． ∴m＝1. 3．已知幂函数f(x)＝xα，当x＞1时，恒有f(x)＜x，则α的取值范围是(　　) A．(0,1) B．(－∞，1) C．(0，＋∞) D．(－∞，0) 解析：选B　当x＞1时，恒有f(x)＜x，即当x＞1时，函数f(x)＝xα的图象在y＝x的图象的下方，作出幂函数f(x)＝xα在第一象限的图象．由图象可知α＜1时满足题意，故选B. 4．设函数y＝x3与y＝x－2图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是(　　) A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4) 解析：选B　幂函数y＝x3在(0，＋∞)上递增且过点(1,1)，指数型函数y＝x－2在(－∞，＋∞)上是减函数且过点(2,1)，画出它们的图象，可知x0∈(1,2)．故选B. 5．设a＝ ，b＝ ，c＝ ，则(　　) A．a<b<c B．c<a<b C．b<c<a D．b<a<c 解析：选D　构造幂函数y＝x (x∈R)，由该函数在定义域内单调递增，知a>b；构造指数函数y＝x，由该函数在定义域内单调递减，所以a<c，故c>a>b. 二、填空题 6．函数y＝(m－1)x 为幂函数，则该函数为________(填序号)． ①奇函数；②偶函数；③增函数；④减函数． 解析：由y＝(m－1)x 为幂函数，得m－1＝1，即m＝2，则该函数为y＝x2，故该函数为偶函数，在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数． 答案：② 7．已知幂函数f(x)＝xα的部分对应值如下表： x 1 f(x) 1 则不等式f(|x|)≤2的解集是________． 解析：由表中数据知 ，∴f(x)＝xα，∴α＝＝，∴|x| ≤2，即|x|≤4，故－4≤x≤4. 答案：{x|－4≤x≤4} 8．为了保证信息的安全传输，有一种为秘密密钥密码系统，其加密、解密原理为：发送方由明文到密文(加密)，接收方由密文到明文(解密)．现在加密密钥为y＝xα(α为常数)，如“4”通过加密后得到密文“2”．若接收方接到密文“3”，则解密后得到的明文是________． 解析：由题目可知加密密钥y＝xα(α是常数)是一个幂函数模型，所以要想求得解密后得到的明文，就必须先求出α的值．由题意得2＝4α，解得α＝ ，则y＝x.由x ＝3，得x＝9. 答案：9 三、解答题 9．点(分别在幂函数f(x)，g(x)的图象上，问：当x为何值时，有：①f(x)>g(x)？②f(x)＝g(x)？③f(x)<g(x)? ，2)与点 解：设f(x)＝xα，g(x)＝xβ. ∵(， )α＝2，(－2)β＝－ ∴α＝2，β＝－1. ∴f(x)＝x2，g(x)＝x－1. 分别作出它们的图象，如图所示．由图象知， 当x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f(x)>g(x)； 当x＝1时，f(x)＝g(x)； 当x∈(0,1)时，f(x)<g(x)． 10．已知函数f(x)＝. －xm，且f(4)＝－ (1)求m的值； (2)判断f(x)在(0，＋∞)上的单调性，并给予证明． 解：(1)∵f(4)＝－.∴m＝1. －4m＝－，∴ (2)f(x)＝－x在(0，＋∞)上单调递减． 证明如下： 任取0<x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝－ ＝(x2－x1). ∵0<x1<x2，∴x2－x1>0，＋1>0. ∴f(x1)－f(x2)>0，∴f(x1)>f(x2)， 即f(x)＝－x在(0，＋∞)上单调递减． 11．已知幂函数f(x)＝x (m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足(a＋1) <(3－2a) 的a的取值范围． 解：∵幂函数f(x)＝x 在(0，＋∞)上单调递减， ∴m2－2m－3<0，解得－1<m<3.∵m∈N*，∴m＝1,2. 又函数的图象关于y轴对称，∴m2－2m－3是偶数， 而22－2×2－3＝－3为奇数，12－2×1－3＝－4