2.3 幂函数 难度3-【优鸿】高中必修1数学同步提分练(人教A版)

高中数学·人教版高中数学必修1 难度3 第⼆章 基本初等函数（Ⅰ） 幂函数 1. 探究函数 ， 的最值. (1)先探究函数 在区间 上的最值，列表如下： 观察表中y值随x值变化的趋势，知 __________ 时， 有最小值为__________ ; (2)再依次探究函数 在区间 上以及区间 上的最值情况 (是否有最值?是最大值还是最小值?)，请写出你的探究结论； (3)请证明你在1中所得到的结论是正确的. 2. 已知幂函数 的图象关于y轴对称，且在 上函数值随x的增大而 减小，求满足 的a的取值范围. 3. 若点 在幂函数 的图象上，点 在幂函数 的图象上，定义 求函数 的最大值以及单调区间. 4. 已知函数 是幂函数， ，且函数 的图象过点 和 两点. (1)求 的解析式； (2)求函数 的单调区间，判断函数在区间 上是否存在最大或最小值；若存在， 求出对应的最值；若不存在，说明理由. 5. 已知幂函数 为偶函数，且在区间 上是单调减函数. (1)求函数 ； (2)讨论 的奇偶性. 参考答案 1 （1） （2） 在区间 上有最⼤值 ，此时 ，⽆最⼩值；在 上⽆最值 （3）设 是 上的任意两个实数，且 ， ∵ ， ∴ ， . ∴ . ∴ . ∴ . 故函数 在 上单调递减. 设 是 上的任意两个实数，且 . ∵ ， ∴ ， . ∴ . ∴ . ∴ . 故函数 在 上单调递增. ∵函数 在 上单调递减，在 上单调递增， ∴对任意的 ，有 ， 对任意的 ，有 ， ∴函数 在 处取得最⼩值. ⼜∵ ， ∴
. ∴函数 在 处取得最⼩值且最⼩值为4. 2 3 函数 的最⼤值为1，单调递增区间为 ，单调递减区间为 4 （1） （2）函数 的单调减区间是 ；既⽆最⼩值，也⽆最⼤值； 理由： 在此区间上最⼤值趋于⽆穷⼤，最⼩值趋于⽆穷⼩，故不存在最⼤值、最 ⼩值 5 （1） （2）当 且 时， 为偶函数； 当 且 时， 既是奇函数⼜是偶函数； 当 且 时， 为奇函数； 当 且 时， 为⾮奇⾮偶函数