2017人教版高中数学选修4-4（课件+课时提升作业）:2.3 2.4 （2份打包）

三　直线的参数方程 四　渐开线与摆线 【自主预习】 1.直线的参数方程 已知直线l经过点M0(x0,y0),倾斜角为 点M(x,y) 为直线l上任意一点,则直线l的普通方程和参数方程分 别为 y-y0=tanα(x-x0) 其中,直线的参数方程中参数t的绝对值|t|=____. 普通方程 参数方程 ________________ ___________ (t为参数) 2.圆的渐开线及其参数方程 (1)定义. 把线绕在圆周上,假设线的粗细可以忽略,拉着线头 _________,保持线与圆相切,_____的轨迹就叫做圆的 渐开线,相应的_____叫做渐开线的基圆. 离开圆周 线头 定圆 (2)参数方程. 设基圆的半径为r,圆的渐开线的参数方程是 __________________________ 3.摆线及其参数方程 (1)定义. 当一个圆沿着一条定直线_________滚动时,圆周上的 _____________的轨迹叫做平摆线,简称摆线,又叫做 _______. 无滑动地 一个定点运动 旋轮线 (2)参数方程. 设圆的半径为r,圆滚动的角为φ,那么摆线的参数方程 是_____________ (φ是参数) 【即时小测】 1.下列点在直线 (t为参数)上的是　(　　) A.(2,-3) B.(-2,3) C.(3,-2) D.(-3,2) 【解析】选D.直线经过点(-3,2),倾斜角为α. 2.经过点M(1,-3)且倾斜角为 的直线,以定点M到动点P的位移t为参数的参数方程是________________. 【解析】经过点M(1,-3)且倾斜角为 的直线,以定点 M到动点P的位移t为参数的参数方程是 (t为参数)即为 (t为参数) 答案: (t为参数) 【知识探究】 探究点　直线的参数方程、渐近线与摆线 1.直线的参数方程中,参数的几何意义是什么? 提示:设e表示直线向上方向上的单位向量, 当 参数t>0时, 与e同向; 当参数t<0时, 与e反向; 当参数t=0时,点M0,M重合. 故总有 所以参数t为点M0(x0,y0)到直线上点 M(x,y)的有向线段 的数量(即长度+方向),这就是 参数t的几何意义. 2.直线的参数方程形式唯一吗?如果不唯一,同一直线不同形式的参数方程中的参数都具有相同的几何意义吗? 提示:直线的参数方程形式不唯一,同一直线不同形式 的参数方程中的参数具有不同的意义,甚至不具有明显 的几何意义,如直线x-y=0的参数方程 (t为参数) 中的参数t就不具有明显的几何意义. 【归纳总结】 由直线的参数方程中t的几何意义得出的两个结论 (1)设A,B是直线上任意两点,它们对应的参数分别为tA和tB,则 (2)线段AB的中点所对应的参数值等于 类型一　直线的参数方程的形式 【典例】1.化直线l1的普通方程x+ y-1=0为参数方 程,并说明参数的几何意义,说明|t|的几何意义. 2.化直线l2的参数方程 (t为参数)为普通 方程,并求倾斜角,说明|t|的几何意义. 【解题探究】1.典例1中直线的斜率和倾斜角分别是什么? 提示:直线的斜率为 倾斜角为 2.典例2中直线的参数方程是标准形式吗? 提示:不是直线的参数方程的标准形式. 【解析】1.令y=0,得x=1,所以直线l1过定点(1,0). 设直线的倾斜角为α, 所以直线l1的参数方程为 t是直线l1上的定点M0(1,0)到t对应的点M(x,y)的有向 线段 的数量. 由 ①,②两式平方相加,得(x-1)2+y2=t2. |t|是定点M0(1,0)到t对应的点M(x,y)的 有向线段 的长. 2.方程组变形为 ①代入②消去参数t,得直线的点斜式方程 可得 倾斜角 普通方程为 ①②两式平方相加,得(x+3)2+(y-1)2=4t2, 所以 |t|是定点M0(3,1)到t对应 的点M(x,y)的有向线段 的长的一半. 【方法技巧】直线参数方程的标准形式应用技巧 (1)已知直线l经过点M0(x0,y0),倾斜角为α,点M(x,y)为直线l上任意一点,则直线l的参数方程为 (t为参数)　① 参数t的几何意义是有向线段 的数量, 其中e=(cosα,sinα). 我们把①称为直线l的参数方程的标准形式. 令a=cosα,b=sinα,则直线参数方程的标准形式可以是