2018年高考新课标数学（理）一轮考点突破（课件+练习）:第十二章　算法初步、推理与证明 （5份打包）

12.3　直接证明与间接证明 1．直接证明 (1)综合法：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的____________，最后推导出所要证明的结论________，这种证明方法叫做综合法．综合法又叫顺推证法或__________法． (2)分析法：一般地，从要证明的________出发，逐步寻求使它成立的____________，直至最后，把要证明的__________归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法．分析法又叫逆推证法或__________法． (3)综合法和分析法，是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题时常用的思维方式． 2．间接证明 反证法：一般地，假设原命题____________(即在原命题的条件下，结论____________)，经过______________，最后得出__________．这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实等矛盾．因此说明假设________，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．反证法是间接证明的一种基本方法． 自查自纠： 1．(1)推理论证　成立　由因导果　 (2)结论　充分条件　结论　执果索因 2．不成立　不成立　正确的推理　矛盾　错误 (eq \a\vs4\al(2015·黄冈高二检测))设a，b∈R，且a≠b，a＋b＝2，则必有(　　) A．1≤ab≤eq \f(a2＋b2,2) B．ab<1<eq \f(a2＋b2,2) C．ab<eq \f(a2＋b2,2)<1 D.eq \f(a2＋b2,2)<1<ab 解：ab<eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2))) eq \s\up12(2)＝1<eq \f(a2＋b2,2)(a≠b)．故选B. (eq \a\vs4\al(2016·周口模拟))用反证法证明命题“若a＋b＋c为偶数，则自然数a，b，c中恰有1个或3个偶数”时正确反设为(　　) A．自然数a，b，c都是奇数 B．自然数a，b，c都是偶数 C．自然数a，b，c中至少有两个偶数 D．自然数a，b，c中都是奇数或恰有两个偶数 解：由于“自然数a，b，c中恰有1个或3个偶数”的否定是“自然数a，b，c都是奇数或恰有两个偶数”，故选D. 如果aeq \r(a)＋beq \r(b)>aeq \r(b)＋beq \r(a)，则实数a，b应满足的条件是(　　) A．a>b>0 B．a<b<0 C．a>b D．a≥0，b≥0，且a≠b 解：因为(aeq \r(a)＋beq \r(b))－(aeq \r(b)＋beq \r(a))＝(a－b)(eq \r(a)－eq \r(b))>0，所以a≥0，b≥0，且a≠b.故选D. 用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤： ①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°矛盾，则∠A＝∠B＝90°不成立； ②所以一个三角形中不能有两个直角； ③假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°. 正确顺序的序号排列为____________． 解：由反证法证明的步骤知，先反设，即③，再推出矛盾，即①，最后作出判断，肯定结论，即②，顺序应为③①②.故填③①②. 命题“a，b是实数，若eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a＋1))＋(b＋1)2＝0，则a＝b＝－1”，用反证法证明时应假设____________． 解：a＝b＝－1表示a＝－1且b＝－1，故其否定是a≠－1，或b≠－1.故填a≠－1，或b≠－1. 类型一　直接证明 　已知a，b，c∈R＋，求证：eq \r(\f(a2＋b2＋c2,3))≥eq \f(a＋b＋c,3). 证法一：采用分析法． 要证eq \r(\f(a2＋b2＋c2,3))≥eq \f(a＋b＋c,3)， 只需证eq \f(a2＋b2＋c2,3)≥eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b＋c,3))) eq \s\up12(2)， 只需证3(a2＋b2＋c2)≥a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca， 只需证2(a2＋b2＋c2)≥2ab＋2bc＋2ca， 只需证(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≥0，而这是显然成立的， 所以eq \r(\f(a2＋b2＋c2,3))≥eq \f(a＋b＋c,3)成立(当且仅当a＝b＝c时等号成立)． 证法二：采用综合法． 因为a，b，c∈R＋，所以(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≥0， 所以2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ac)，