2017-2018学年高二数学苏教版选修4-2课件+教师用书:2.2.4旋转变换+2.2.5投影变换+2.2.6切变变换 （2份打包）

2.2.4　旋转变换 2.2.5　投影变换 2.2.6　切变变换 1.掌握旋转、投影、切变变换的特点，熟知常用的这三种变换矩阵的特点. 2.了解旋转、投影、切变变换的矩阵表示及其几何意义. [基础·初探] 1.旋转变换 (1)旋转变换的定义：将一个图形F绕某个定点O旋转角度θ所得图形F′的变换称为旋转变换，其中点O称为旋转中心，角度θ称为旋转角. (2)旋转变换矩阵：当旋转中心为坐标原点O且逆时针旋转θ角时，旋转变换的矩阵为这样的矩阵称为旋转变换矩阵.，像 (3)旋转变换的特点： ①旋转变换只改变几何图形的相对位置，不会改变几何图形的形状. ②旋转中心在旋转过程中保持不变. ③图形的旋转由旋转中心和旋转的角度所决定. ④绕定点旋转180°的变换相当于关于定点作中心反射变换. 2.投影变换 (1)定义：将平面图形投影到某条直线(或点)的变换，称为投影变换. (2)投影变换矩阵：像这类将平面内图形投影到某条直线(或某个点)上的矩阵，称为投影变换矩阵.， (3)投影变换的特点：投影变换是线性变换，是映射，但不是一一映射. 3.切变变换 (1)定义：保持图形的面积大小不变而点间距离和线间夹角可以改变，且点沿坐标轴运动的变换叫做切变变换. (2)切变变换矩阵 一般地，在平面直角坐标系xOy内，将任一点P(x，y)沿着x轴(或y轴)方向平移|ky|(或 |kx|)个单位变成点P′(x′，y′)，(其中k是非零常数)，对应的变换矩阵(k∈R，k≠0)，称为切变变换矩阵.或 (3)切变变换的矩阵表示及其几何意义 ①矩阵(k∈R，k≠0)把平面上的点P(x，y)沿x轴方向平移|ky|个单位：当ky＞0时，沿x轴正方向移动；当ky＜0时，沿x轴负方向移动；当ky＝0时，位置不变.在此变换作用下，x轴上的点为不动点. ②矩阵(k∈R，k≠0)把平面上的点P(x，y)沿y轴方向平移|kx|个单位：当kx＞0时，沿y轴正方向移动；当kx＜0时，沿y轴负方向移动；当kx＝0时，位置不变.在此变换作用下，y轴上的点为不动点. [思考·探究] 1.如何理解旋转变换的矩阵表示及其几何意义？ 【提示】　旋转变换所对应的矩阵表示为 ，这里θ为一个实数，叫做旋转角，旋转中心一般取作原点.当θ＞0时，旋转的方向是逆时针；当θ＜0时，旋转的方向则是顺时针，我们一般只讨论逆时针方向. 2.线性变换对单位正方形表示的区域有哪些作用？ 【提示】　(1)恒等变换，关于x轴、y轴的反射变换以及旋转变换，变换前后正方形区域的形状都未发生改变，只是位置发生了变化. (2)切变变换把原来的正方形区域变成了一边不动，另一边平移了的平行四边形. (3)投影变换把正方形区域变成了线段. [质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 解惑：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 疑问2：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 解惑：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 疑问3：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 解惑：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 旋转变换及其应用 　已知曲线xy＝1，将它绕坐标原点顺时针旋转90°后会得到什么曲线？曲线方程是什么？ 【精彩点拨】　根据题设条件找到旋转角θ，求出旋转变换矩阵，从而求出曲线方程，判断曲线类型. 【自主解答】　将曲线xy＝1绕坐标原点顺时针旋转90°，相当于逆时针旋转270°， 故旋转变换矩阵为 M＝， ＝ 设P(x0，y0)为曲线xy＝1上任意一点，在矩阵M作用下对应点为P′(x0′，y0′)则， ＝＝ 所以 故x0′y0′＝－x0y0＝－1. 因此曲线xy＝1在矩阵M的作用下变成曲线 xy＝－1，如图所示. 求旋转变换下曲线的方程的关键是搞清旋转方向，找准旋转角，求出旋转变换矩阵，进而用代入法(相关点法)求出曲线方程. 若将本例中“旋转90°”变成“旋转45°”情况如何？ 【解】　由题意得旋转变换矩阵为 M＝.＝ 在曲线xy＝1上任取一点P(x，y)，设其在此旋转变换作用下得到点P′(x′，y′)，则 ，即＝ 所以 将其代入xy＝1中得：＝1.· 即＝1， － 因此曲线xy＝1，在矩阵的作用下变成曲线＝1. － 投影变换及其应用 　设一个投影变换把直角坐标系xOy内的任意一点沿平行于直线y＝x的方向投影到x轴上.试求： (1)点A(3，2)在这个投影变换作用下得到的点A′的坐标； (2)这个投影变换对应的变换矩阵. 【导学号：3065