2017-2018学年高二数学苏教版选修4-2课件+教师用书:2.5特征值与特征向量 （2份打包）

阶段一 阶段二 阶段三 学业分层测评 1.掌握矩阵特征值与特征向量的定义，能从几何变换的角度说明特征向量的意义. 2.会求二阶矩阵的特征值与特征向量(只要求特征值是两个不同实数的情形). 3.利用矩阵A的特征值、特征向量给出Anα的简单表示，并能用它来解决问题. Aα λα [基础·初探] 1.特征值与特征向量的定义 设A是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使得 ＝ ，那么λ称为A的一个特征值，而α称为A的属于特征值λ的一个特征向量. 2.特征多项式的定义 设A＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a　b,c　d))是一个二阶矩阵，λ∈R，我们把行列式f(λ)＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(λ－a　－b,－c　λ－d))＝λ2－(a＋d)λ＋ad－bc称为A的特征多项式. 3.特征值与特征向量的计算 设λ是二阶矩阵A＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a　b,c　d))的特征值，α为λ的特征向量，求λ与α的步骤为： 第一步：令矩阵A的特征多项式f(λ)＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(λ－a　－b,－c　λ－d))＝λ2－(a＋d)λ＋ad－bc＝0，求出λ的值. 第二步：将λ的值代入二元一次方程组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（λ－a）x－by＝0，,－cx＋（λ－d）y＝0，))得到一组非零解eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x0,y0))，于是非零向量eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x0,y0))即为矩阵A的属于特征值λ的一个特征向量. 4.Anα(n∈N*)的简单表示 (1)设二阶矩阵A＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a　b,c　d))，α是矩阵A的属于特征值λ的任意一个特征向量，则Anα＝λnα(n∈N*). (2)设λ1，λ2是二阶矩阵A的两个不同特征值，α，β是矩阵A的分别属于特征值λ1，λ2的特征向量，对于平面上任意一个非零向量γ，设γ＝t1α＋t2β(其中t1，t2为实数)，则Anγ＝t1λeq \o\al(n,1)α＋t2λeq \o\al(n,2)β(n∈N*). [思考·探究] 1.特征值与特征向量的几何意义如何？ 【提示】　从几何上看，特征向量的方向经过变换矩阵A的作用后，保持在同一条直线上，这时特征向量或者方向不变(λ＞0)，或者方向相反(λ＜0)，特别地，当λ＝0时，特征向量就被变换成了零向量. 2.特征值与特征向量有怎样的对应关系？ 【提示】　如果向量α是属于λ的特征向量，将它乘非零实数t后所得的新向量tα与向量α共线，故tα也是属于λ的特征向量.因此，一个特征值对应多个特征向量，显然，只要有了特征值的一个特征向量，就可以表示出属于这个特征值的共线的所有特征向量了. 3.如何求矩阵A幂的作用结果？ 【提示】　由于特征向量的存在，求矩阵幂的作用结果，可以转化成求数的幂的运算结果. [质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：　_____________________________________________________ 解惑：　_______________________________________________________ 疑问2：　_____________________________________________________ 解惑：　_______________________________________________________ 疑问3：　______________________________________________________ 解惑：　_______________________________________________________ 特征值与特征向量的计算与应用 　(1)求矩阵A＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1　0,0　2))的特征值和特征向量； (2)判断矩阵A是否存在特征值和特征向量. A＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1　－1,1　　1)). 【精彩点拨】　eq \x(f（λ）)→eq \x(f（λ）＝0)→eq \x(特征值)→eq \x(特征向量) 【自主解答】　(1)矩阵A的特征多项式为： f(λ)＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(λ－1　0,0　λ－2))＝(λ－1)(λ－2). 令f(λ)＝0，解得A的特征值λ1＝1，λ2＝2. 将