2017-2018学年高二数学苏教版选修4-2模块综合检测

模块综合检测 1.已知矩阵M＝，求矩阵M的特征值与特征向量. 【解】　矩阵M的特征多项式为f(λ) ＝＝λ2－3λ＋2，令f(λ)＝0，解得λ1＝1，λ2＝2， 将λ1＝1代入二元一次方程组 解得x＝0， 所以矩阵M属于特征值1的一个特征向量为； 同理，矩阵M属于特征值2的一个特征向量为. 2.已知在二阶矩阵M对应变换的作用下，四边形ABCD变成四边形A′B′C′D′，其中A(1，1)，B(－1，1)，C(－1，－1)，A′(3，－3)，B′(1，1)，D′(－1，－1). (1)求出矩阵M； (2)确定点D及点C′的坐标. 【导学号：30650064】 【解】　设M＝， ＝，则有 ， ＝ 所以解得 所以M＝. (2)由，得C′(－3，3).＝ 由，得D(1，－1).＝ 3.设曲线2x2＋2xy＋y2＝1在矩阵A＝(a>0)对应的变换作用下得到的曲线为x2＋y2＝1. ①求实数a，b的值； ②求A2的逆矩阵. 【解】　①设曲线2x2＋2xy＋y2＝1上任意点P(x，y)在矩阵A对应的变换作用下的像是P′(x′，y′). 由，得＝＝ 又点P′(x′，y′)在x2＋y2＝1上，所以x′2＋y′2＝1， 即a2x2＋(bx＋y)2＝1， 整理得(a2＋b2)x2＋2bxy＋y2＝1. 依题意得或解得 因为a>1，所以 ②由①知，A＝.＝，A2＝ 所以|A2|＝1，(A2)－1＝. 4.已知矩阵A＝，求矩阵AB.，矩阵B的逆矩阵B－1＝ 【解】　设B＝， 则B－1B＝， ＝ 即， ＝ 故.所以B＝解得 因此，AB＝.＝ 5.曲线x2＋4xy＋2y2＝1在二阶矩阵M＝的作用下变换为曲线x2－2y2＝1. (1)求实数a，b的值；(2)求M的逆矩阵M－1. 【解】　(1)设P(x，y)为曲线x2－2y2＝1上任意一点，P′(x′，y′)为曲线x2＋4xy＋2y2＝1上与P对应的点，则，即＝ 代入得(x′＋ay′)2－2(bx′＋y′)2＝1， 即得(1－2b2)x′2＋(2a－4b)x′y′＋(a2－2)y′2＝1， 及方程x2＋4xy＋2y2＝1，从而 解得a＝2，b＝0. (2)因为M的行列式为 .＝＝1≠0，M－1＝ 6.已知矩阵M＝，求M3α的值.，向量α＝ 【解】　矩阵M的特征多项式 f(λ)＝， ＝λ2－2λ－8＝(λ＋2)(λ－4).令f(λ)＝0，解得λ1＝4