2017-2018学年高中数学苏教版选修1-2（课件+学业分层测评+教师用书）:第2章 2.2.1　直接证明 （3份打包）

学业分层测评(七) 第2章 2.2.1　直接证明 (建议用时：45分钟) [学业达标] 一、填空题 1.命题“函数f(x)＝x-xln x在区间(0,1]上是增函数”的证明过程“对函数f(x)＝x-xln x求导得f′(x)＝-ln x，当x∈(0,1)时，f′(x)＝-ln x>0，故函数f(x)在区间(0,1)上是增函数”应用了________的证明方法. 【答案】　综合法 2.已知a，b是不相等的正数，x＝，则x，y的大小关系是x________y. ，y＝ 【解析】　要比较x，y的大小.∵x>0，y>0， 只需比较x2，y2的大小，即与a＋b的大小. ∵a，b为不相等的正数，∴2<a＋b， ∴<a＋b， 则x2<y2，∴x<y. 【答案】　< 3.已知sin θ＋cos θ＝，则cos 2θ＝______________. ≤θ≤且 【解析】　由sin θ＋cos θ＝，∴sin θ>0，cos θ<0.≤θ≤，∵.则2sin θcos θ＝-得1＋2sin θcos θ＝ ∴sin θ-cos θ＝，.∴sin θ＝＝ ∴cos 2θ＝1-2sin2θ＝1-2×.＝- 【答案】　- 4.已知函数f(x)＝ex-ax在区间(0,1)上有极值，则实数a的取值范围是________. 【解析】　函数f(x)＝ex-ax在区间(0,1)上有极值，就是导函数f′(x)＝ex-a在区间(0,1)上有零点.即方程ex-a＝0在区间(0,1)上有解.所以a＝ex∈(1，e). 【答案】　(1，e) 5.已知f(x)＝是奇函数，那么实数a的值等于________. 【解析】　函数的定义域为R，函数为奇函数，当x＝0时f(0)＝0，即＝0， ∴a＝1. 【答案】　1 6.已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a9成等比数列，则＝________. 【解析】　∵a1·a9＝a，即a1·(a1＋8d)＝(a1＋2d)2， ∴4d(a1-d)＝0，∵d≠0，∴a1＝d， ∴.＝＝ 【答案】　 7.已知函数f(x)＝(m-2)x2＋(m2-4)x＋m是偶函数，函数g(x)＝-x3＋2x2＋mx＋5在(-∞，＋∞)内单调递减，则实数m＝________. 【解析】　因为f(x)＝(m-2)x2＋(m2-4)x＋m是偶函数，所以m2-4＝0，m＝±2. 由题意知g′(x)＝-3x2＋4x＋m≤0恒成立， 则Δ＝42-4×(-3)×m≤0，解得m≤-，故m＝-2. 【答案】　-2 8.如图2­2­1，四棱柱ABCD­A1B1C1D1的侧棱垂直于底面，满足________时，BD⊥A1C(写上一个条件即可). 图2­2­1 【解析】　要证BD⊥A1C，只需证BD⊥平面AA1C.因为AA1⊥BD，只要再添加条件AC⊥BD，即可证明BD⊥平面AA1C，从而有BD⊥A1C. 【答案】　AC⊥BD(或底面为菱形) 二、解答题 9.已知三角形的三边长为a，b，c，其面积为S，求证：a2＋b2＋c2≥4S. 【证明】　要证a2＋b2＋c2≥4S， 只要证a2＋b2＋(a2＋b2-2abcos C)≥2 absin C，即证a2＋b2≥2absin(C＋30°)，因为2absin(C＋30°)≤2ab， 只需证a2＋b2≥2ab， 显然上式成立.所以a2＋b2＋c2≥4S. 10.已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成等差数列，且2cos 2B-8cos B＋5＝0，求证：△ABC为正三角形. 【证明】　∵2cos 2B-8cos B＋5＝0， ∴4cos2B-8cos B＋3＝0， ∴cos B＝(舍去)，或cos B＝ ∴B＝60°. ∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c， ∴cos B＝，＝＝ ∴a＝c. 又∵B＝60°， ∴△ABC为正三角形. [能力提升] 1.如果a，则实数a，b应满足的条件是________. ＋b>a＋b 【解析】　a)>0-)⇔(a-b)(-)>b(-⇔a(-b>b-a⇔a＋b>a＋b ⇔()2>0，-)(＋ 故只需a≠b且a，b都不小于零即可. 【答案】　a≥0，b≥0且a≠b 2.已知△ABC的两顶点A、B是双曲线＝________. ＝1的左右两个焦点，顶点C在双曲线的右支上，则- 【解析】　∵A、B是双曲线＝1的左右两个焦点，C在双曲线的右支上，- ∴|AB|＝2＝10，|CA|-|CB|＝6， 由正弦定理，得.＝-＝ 【答案】　- 3.使不等式成立的正整数p的最大值是________. >1＋＋2 【导学号：97220019】 【解析】　由-1，＋2<，得>1＋＋2 即p<(-1)2，＋2 所以p<12＋4，-2-4 由于12＋4≈12.7，因此使不等式成立的正整数p的最大值