2017-2018学年高中数学苏教版选修1-2（课件+学业分层测评+教师用书）:第2章 2.2.2　间接证明 （3份打包）

学业分层测评(八) 第2章 2.2.2　间接证明 (建议用时：45分钟) [学业达标] 一、填空题 1.△ABC中，若AB＝AC，P是△ABC内的一点，∠APB>∠APC，求证：∠BAP<∠CAP.用反证法证明时的假设为________. 【答案】　∠BAP≥∠CAP 2.用反证法证明命题“在一个三角形的三个内角中，至少有两个锐角”时，假设命题的结论不成立的正确叙述是“在一个三角形的三个内角中，________个锐角.” 【解析】　“至少有两个”的否定是“至多有一个”. 【答案】　至多有一个 3.用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是________. 【解析】　因为“方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”等价于“方程x3＋ax＋b＝0的实根的个数大于或等于1”，所以要做的假设是“方程x3＋ax＋b＝0没有实根”. 【答案】　方程x3＋ax＋b＝0没有实根 4.命题“a，b是实数，若|a-1|＋|b-1|＝0，则a＝b＝1”用反证法证明时应假设为________. 【解析】　“a＝b＝1”是“a＝1且b＝1”， 又因“p且q”的否定为“﹁p或﹁q”， 所以“a＝b＝1”的否定为“a≠1或b≠1”. 【答案】　a≠1或b≠1 5.若下列两个方程x2＋(a-1)x＋a2＝0，x2＋2ax-2a＝0中至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围是______________. 【解析】　若两个方程均无实根，则 解得 ∴-2<a<-1. 因此两方程至少有一个有实根时，应有a≤-2或a≥-1. 【答案】　{a|a≤-2或a≥-1} 6.用反证法证明命题“若a2＋b2＝0，则a，b全为0(a，b为实数)”，其反设为____________. 【解析】　“a，b全为0”即是“a＝0且b＝0”，因此它的反设为“a≠0或b≠0”，即a，b不全为0. 【答案】　a，b不全为0 7.若a，b，c是不全相等的正数，给出下列判断： ①(a-b)2＋(b-c)2＋(c-a)2≠0； ②a>b与a<b及a＝b中至少有一个成立； ③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立. 其中正确的是________(填序号). 【解析】　因为a，b，c不全相等，所以①正确；②显然正确，③中的a≠c，b≠c，a≠b可以同时成立，所以③错. 【答案】　①② 8.完成反证法证题的全过程. 题目：设a1，a2，…，a7是由数字1,2，…，7任意排成的一个数列，求证：乘积p＝(a1-1)(a2-2)…(a7-7)为偶数. 证明：假设p为奇数，则__________均为奇数.① 因7个奇数之和为奇数，故有 (a1-1)＋(a2-2)＋…＋(a7-7)为__________.② 而(a1-1)＋(a2-2)＋…＋(a7-7) ＝(a1＋a2＋…＋a7)-(1＋2＋…＋7)＝__________.③ ②与③矛盾，故p为偶数. 【解析】　由假设p为奇数可知(a1-1)，(a2-2)，…，(a7-7)均为奇数， 故(a1-1)＋(a2-2)＋…＋(a7-7) ＝(a1＋a2＋…＋a7)-(1＋2＋…＋7)＝0为奇数， 这与0为偶数矛盾. 【答案】　①a1-1，a2-2，…，a7-7　②奇数　③0 二、解答题 9.已知x，y，z均大于零，求证：x＋这三个数中至少有一个不小于4. ，z＋，y＋ 【证明】　假设x＋都小于4，，z＋，y＋ 即x＋<4，<4，z＋<4，y＋ 于是得<12，＋＋ 而＝12，＋2 ＋2 ≥2 ＋＋＝＋＋ 这与<12矛盾，＋＋ 因此假设错误，即x＋中至少有一个不小于4.，z＋，y＋ 10.等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋. ，S3＝9＋3 (1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn； (2)设bn＝(n∈N*)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列. 【解】　(1)设公差为d， 由已知得 ∴d＝2，故an＝2n-1＋).，Sn＝n(n＋ (2)证明：由(1)得bn＝.＝n＋ 假设数列{bn}中存在三项bp、bq、br(p、q、r互不相等)成等比数列，则b＝bpbr， 即(q＋)，)(r＋)2＝(p＋ ∴(q2-pr)＋(2q-p-r)＝0. ∵p，q，r∈N*， ∴ ∴2＝pr，(p-r)2＝0， ∴p＝r，这与p≠r矛盾. 所以数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列. [能力提升] 1.实数a，b，c不全为0等价于________. 【答案】　a，b，c中至少有一个不为0. 2.设a，b，c都是正数，则三个数a＋与2的大小关系是________. ，c＋，b＋ 【解析】　假设a＋均小于2，，c＋，b＋ 则a＋<6. ①＋c＋＋b＋ 又∵a＋≥2，≥2，c＋≥2，b＋ ∴a＋≥6， ②＋