2017-2018学年高中数学（苏教版 选修2-2）（课件+检测+教师用书）：第2章 章末分层突破 (2份打包)

巩固层·知识整合 提升层·能力强化 拓展层·链接高考 章末综合测评 章末分层突破 [自我校对] ①由部分到整体，由个别到一般 ②类比推理 ③演绎推理 ④由一般到特殊 ⑤综合法 ⑥执果索因 ⑦反证法 ⑧数学归纳法 合情推理 1.归纳推理的特点及一般步骤 2.类比推理的特点及一般步骤 　(2016·温州月考)下面四个图案都是由小正三角形构成的，设第n个图形中有n个正三角形，且所有小正三角形边上黑点的总数为f(n). 图2­1 (1)求f(2)，f(3)，f(4)，f(5)； (2)找出f(n)与f(n＋1)的关系，并求出f(n)的表达式. 【精彩点拨】　(1)根据图案推导计算f(2)，f(3)，f(4)，f(5)及它们之间的关系.(2)利用(1)推导出的关系归纳出f(n)与f(n＋1)的关系，然后再求f(n)的表达式. 【规范解答】　(1)由题意有f(1)＝3，f(2)＝f(1)＋3＋3×2＝12，f(3)＝f(2)＋3＋3×4＝27，f(4)＝f(3)＋3＋3×6＝48，f(5)＝f(4)＋3＋3×8＝75. (2)由题意及(1)知，f(n＋1)＝f(n)＋3＋3×2n＝f(n)＋6n＋3， 即f(n＋1)－f(n)＝6n＋3，所以f(2)－f(1)＝6×1＋3， f(3)－f(2)＝6×2＋3，f(4)－f(3)＝6×3＋3，…， f(n)－f(n－1)＝6×(n－1)＋3， 将上面n－1个式子相加，得 f(n)－f(1)＝6[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＋3(n－1) ＝6×eq \f(1＋n－1n－1,2)＋3(n－1)＝3n2－3， 又f(1)＝3，所以f(n)＝3n2. [再练一题] 1.已知函数y＝sin4x＋cos4x(x∈R)的值域是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，则 (1)函数y＝sin6 x＋cos6x(x∈R)的值域是___________________； (2)类比上述结论，函数y＝sin2n x＋cos2nx(n∈N*)的值域是__________. 【解析】　(1)y＝sin6x＋cos6x＝(sin2x＋cos2x)(sin4x－sin2 xcos2 x＋cos4 x)＝sin4x－sin2xcos2 x＋cos4x＝(sin2 x＋cos2 x)2－3sin2xcos2x＝1－eq \f(3,4)sin2(2x)＝1－eq \f(3,8)(1－cos 4x) ＝eq \f(5,8)＋eq \f(3,8)cos 4x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，1)). (2)由类比可知，y＝sin2nx＋cos2nx的值域是[21－n,1]. 【答案】　(1)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，1))　(2)[21－n,1] 综合法与分析法 1.综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题的常用的方法，综合法是由因导果的思维方式，而分析法的思路恰恰相反，它是执果索因的思维方式. 2.分析法和综合法是两种思路相反的推理方法.分析法是倒溯，综合法是顺推，二者各有优缺点.分析法容易探路，且探路与表述合一，缺点是表述易错；综合法条理清晰，易于表述，因此对于难题常把二者交互运用，互补优缺，形成分析综合法，其逻辑基础是充分条件与必要条件. 　设a>0，b>0，a＋b＝1，求证：eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,ab)≥8.试用综合法和分析法分别证明. 【精彩点拨】　(1)综合法：根据a＋b＝1，分别求eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)与eq \f(1,ab)的最小值. (2)分析法：把eq \f(1,ab)变形为eq \f(a＋b,ab)＝eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)求证. 【规范解答】　法一：(综合法) ∵a>0，b>0，a＋b＝1， ∴1＝a＋b≥2eq \r(ab)，eq \r(ab)≤eq \f(1,2)，ab≤eq \f(1,4)，∴eq \f(1,ab)≥4. 又eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝(a＋b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))＝2＋eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥4， ∴eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,ab)≥8(当且仅当a＝b＝eq \f(1,2)时等号成立). 法二：(分析法) ∵a>0，b>0，a＋b＝1， 要证eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,ab)≥8， 只要证eq \b\lc\(\rc\)(\