第2章 推理与证明【专项训练】-2020-2021学年高二数学下学期期中专项复习（苏教版）

第2章 推理与证明专项训练 第一节 合情推理与演绎推理 类型一、归纳推理 例1．用推理的形式表示等差数列1，3，5，…，（2－1），…的前项和的归纳过程. 【思路点拨】依题意，表示数列 的前项和，即Sn=1+3+5+…+（2－1）.为此，我们先根据该公式，算出数列的前几项，通过观察进一步归纳得出与的对应关系式. 【解析】 对等差数列1，3，5，…，（2－1），…的前1，2，3，4，5，6项的和分别进行计算： ； ； ； ； ； ； 观察可得，前项和等于序号的平方，由此可猜想. 【总结升华】 ①本题是由部分到整体的推理，先把部分的情况都写出来，然后寻找规律，概括出整体的情况，是典型的归纳推理. ②归纳常常从观察开始，观察、实验、对有限的资料作归纳整理，提出带有规律性的猜想，是数学研究的基本方法之一. ③归纳猜想是一种重要的思维方法，但结果的正确性还需进一步证明.在归纳猜想数列的前项和公式时，要认真观察数列中各项数字间的规律，分析每一项与对应的项数之间的关系. ④虽然由归纳推理所得到的结论未必是正确的，但它所具有的由特殊到一般，由具体到抽象的认知功能，对于数学的发现却是十分有用的. 举一反三： 【变式1】在数列中，a1=1，且，计算a2，a3，a4，并猜想的表达式. 【答案】，，… …，猜想：. 【变式2】已知正项数列{an}满足．求出a1，a2，a3，a4，并推测an． 【答案】令n=1，则，即，∴。又a1＞0， ∴a1=1。 令n=2，则，即，∴， ∴，即(a2+1)2=2。∵a2＞0， ∴。 令n=3，则，∴，即。 ∴，即，∵a3＞0， ∴。 当n=4，则，∴，即， ∴，即。∵a4＞0， ∴。 ∴， ， ， 。 归纳可得（n∈N*）。 例2．观察下列由火柴杆拼成的一列图形中，第n个图形由n个正方形组成： 通过观察可以发现：第4个图形中，火柴杆有________根；第n个图形中，火柴杆有________根． 【解析】　第一个图形有4根，第2个图形有7根，第3个图形有10根，第4个图形有13根……猜想第n个图形有3n＋1根． 【总结升华】几何问题应先抽取出其中的数据，再观察这组数据的外在或内在规律。本题中的前四个数的规律是成等差数列，故可归纳。 举一反三： 【变式1】根据给出的数塔猜测123456×9+7等于 1×9+2=11 12×9+3=