2017-2018学年高中数学（苏教版 选修2-2）（课件+检测+教师用书）：第1章 章末分层突破 (2份打包)

巩固层·知识整合 提升层·能力强化 拓展层·链接高考 章末综合测评 章末分层突破 [自我校对] ①导数的运算 ②函数的和、差、积、商的导数 ③单调性 ④极大值与极小值 ⑤最大值与最小值 导数的几何意义及其应用 利用导数的几何意义求切线方程时关键是搞清所给的点是不是切点，常见的类型有两种，一是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，先求导，再求斜率代入直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q(x1，y1)，则切线方程为y－y1＝f′(x1)(x－x1)，再由切线过点P(x0，y0)得y0－y1＝f′(x1)(x0－x1)，① 又y1＝f(x1)，② 由①②求出x1，y1的值， 即求出了过点P(x0，y0)的切线方程． 　(1)曲线y＝xex－1在点(1,1)处切线的斜率等于________． (2)已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如图1­1所示，则该函数的图象是________．(填序号) 图1­1 【精彩点拨】　(1)曲线在点(1,1)处的切线斜率即为该点处的导数． (2)由导数值的大小变化，确定原函数的变化情况，从而得出结论． 【规范解答】　(1)y′＝ex－1＋xex－1＝(x＋1)ex－1，故曲线在点(1,1)处的切线斜率为y′eq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(,x＝1))＝2. (2)从导函数的图象可以看出，导函数值先增大后减小，x＝0时最大，所以函数f(x)的图象的变化率也先增大后减小，在x＝0时变化率最大．①中，在x＝0时变化率最小，故错误；③中，变化率是越来越大的，故错误；④中，变化率是越来越小的，故错误；②正确． 【答案】　(1)2　(2)② [再练一题] 1．已知曲线y＝eq \f(1,3)x3＋eq \f(4,3). (1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点P(2,4)的切线方程； (3)求斜率为4的曲线的切线方程． 【解】　(1)∵P(2,4)在曲线y＝eq \f(1,3)x3＋eq \f(4,3)上，且y′＝x2， ∴在点P(2,4)处的切线的斜率k＝y′|x＝2＝4. ∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0. (2)设曲线y＝eq \f(1,3)x3＋eq \f(4,3)与过点P(2,4)的切线相切于点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0，\f(1,3)x\o\al(3,0)＋\f(4,3)))，则切线的斜率k＝y′|x＝x0＝xeq \o\al(2,0). ∴切线方程为y－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x\o\al(3,0)＋\f(4,3)))＝xeq \o\al(2,0)(x－x0)， 即y＝xeq \o\al(2,0)·x－eq \f(2,3)xeq \o\al(3,0)＋eq \f(4,3). ∵点P(2,4)在切线上， ∴4＝2xeq \o\al(2,0)－eq \f(2,3)xeq \o\al(3,0)＋eq \f(4,3)，即xeq \o\al(3,0)－3xeq \o\al(2,0)＋4＝0， ∴xeq \o\al(3,0)＋xeq \o\al(2,0)－4xeq \o\al(2,0)＋4＝0. ∴xeq \o\al(2,0)(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0， ∴(x0＋1)(x0－2)2＝0， 解得x0＝－1或x0＝2，故所求的切线方程为4x－y－4＝0或x－y＋2＝0. (3)设切点为(x0，y0)， 则切线的斜率k＝xeq \o\al(2,0)＝4，∴x0＝±2. ∴切点为(2,4)或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，－\f(4,3))). ∴斜率为4的曲线的切线方程为y－4＝4(x－2)和y＋eq \f(4,3)＝4(x＋2)， 即4x－y－4＝0和12x－3y＋20＝0. 导数在研究函数单调性中的应用 利用导数的符号判断函数的增减性，进而确定函数的单调区间，这是导数的几何意义在研究曲线变化规律时的一个应用，它充分体现了数形结合思想．这部分内容要注意的是f(x)为增函数⇔f′(x)≥0且f′(x)＝0的根有有限个，f(x)为减函数⇔f′(x)≤0且f′(x)＝0的根有有限个． 　已知函数f(x)＝x3－ax－1. (1)若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围； (2)是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)内单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由． 【精彩点拨】　研究函数的单调性可通过判断导数的符号来解决．因为涉及参数a，所以要分类讨论． 【