2017-2018学年高中数学（苏教版 选修2-3）（课件+检测+教师用书）：2.6 正态分布 (3份打包)

学业分层测评 (建议用时：45分钟) [学业达标] 一、填空题 1．已知随机变量X服从正态分布N(3，σ2)，则P(X＜3)＝________. 【解析】　由正态分布图象(图略)知，μ＝3为该图象的对称轴，P(X＜3)＝P(X＞3)＝. 【答案】　 2．若随机变量X服从标准正态分布N(0,1)，则X在区间(－3,3]上取值的概率等于________． 【答案】　0.997 3．如图2­6­2是当σ取三个不同值σ1，σ2，σ3时的三种正态曲线N(0，σ2)的图象，那么σ1，σ2，σ3的大小关系是________． 图2­6­2 【解析】　由已知得，∴σ2＝1. ＝ 由正态曲线的性质知，当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，所以σ1＜σ2＜σ3. 【答案】　σ1＜σ2＜σ3 4．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(1，σ2)(σ>0)．若ξ 在(0,1)内取值的概率为0.4，则ξ在(0,2)内取值的概率为________． 【解析】　由对称性知，P(1<ξ<2)＝P(0<ξ<1)＝0.4， ∴P(0<ξ<2)＝P(0<ξ<1)＋P(1<ξ<2)＝0.8. 【答案】　0.8 5．已知正态总体落在区间(0.2，＋∞)内的概率是0.5，那么相应的正态曲线f(x)在x＝________时达到最高点. 【导学号：29440063】 【解析】　由正态曲线的性质知：μ＝0.2，故x＝0.2时，正态曲线f(x)达到最高点． 【答案】　0.2 6．已知随机变量X～N(2，σ2)，若P(X＜a)＝0.32，则P(a≤X＜4－a)＝________. 图2­6­3 【解析】　由正态分布图象的对称性可得：P(a≤X＜4－a)＝1－2P(X＜a)＝0.36. 【答案】　0.36 7．已知X～N(0，σ2)且P(－2≤X≤0)＝0.4，则P(X＞2)＝________. 【解析】　∵P(0≤X≤2)＝P(－2≤X≤0)＝0.4， ∴P(X＞2)＝(1－2×0.4)＝0.1. 【答案】　0.1 8．已知正态分布N(μ，σ2)的密度曲线是 P(x)＝，x∈R.给出以下四个命题： e－ ①对任意x∈R，P(μ＋x)＝P(μ－x)成立； ②如果随机变量X服从N(μ，σ2)，且F(x)＝P(X<x)，那么F(x)是R上的增函数； ③如果随机变量X服从N(108,100)，那么X的期望是108，标准差是100； ④随机变量X服从N(μ，σ2)，P(X<1)＝，P(X>2)＝p，则P(0<X<2)＝1－2p. 其中，真命题的序号是________．(写出所有真命题的序号) 【解析】　画出正态分布N(μ，σ2)的密度曲线如图． 由图可得： ①图象关于x＝μ对称，故①正确； ②随着x的增加，F(x)＝P(ξ<x)也随着增加，故②正确； ③如果随机变量ξ服从N(108,100)，那么ξ的期望是108，标准差是10； ④由图象的对称性，可得④正确．故填①②④. 【答案】　①②④ 二、解答题 9．已知某种零件的尺寸X(单位：mm)服从正态分布，其正态曲线在(0,80)上是增函数，在(80，＋∞)上是减函数，且P(80)＝ . (1)求正态分布密度函数的解析式； (2)估计尺寸在72 mm～88 mm之间的零件大约占总数的百分之几． 【解】　(1)由于正态曲线在(0,80)上是增函数，在(80，＋∞)上是减函数，所以正态曲线关于直线x＝80对称，且在x＝80处取得最大值． 因此得μ＝80，，所以σ＝8. ＝ 故正态分布密度函数的解析式是 P(x)＝(x∈R)． e－ (2)由μ＝80，σ＝8，得μ－σ＝80－8＝72，μ＋σ＝80＋8＝88， 所以零件尺寸X在区间(72,88)内的概率是0.683.因此尺寸在72 mm～88 mm间的零件大约占总数的68.3%. 10．设X～N(6,1)，求P(4＜X≤5)． 【解】　由已知得μ＝6，σ＝1. ∵P(5＜X≤7)＝P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.683， P(4＜X≤8)＝P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.954. 如图，由正态分布的对称性知 P(4＜x≤5)＝P(7＜x≤8)． ∴P(4＜x≤5)＝[P(4＜x≤8)－P(5＜x≤7)] ＝×0.271＝0.135 5. [能力提升] 1．对于正态分布N(0,1)的概率密度函数P(x)＝；③P(x)在x＞0时是单调减函数，在x≤0时是单调增函数；④P(x)关于σ＝1对称．不正确的是________(填序号)． ，有下列四种说法：①P(x)为偶函数；②P(x)的最大值为e－ 【解析】　∵X～N(0,1)，∴曲线的对称轴为x＝μ＝0. 【答案】　④ 2．已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，则P(0<ξ<2)等于________． 【解析