2017-2018学年高中数学（苏教版 选修4-4）（课件+检测+教师用书）：4.4.3参数方程的应用 (6份打包)

学业分层测评(十一) (建议用时：45分钟) [学业达标] 1．已知直线l经过点P(1，－3的交点Q与点P的距离|PQ|. ，求直线l与直线l′：y＝x－2)，倾斜角为 【解】　∵l过点P(1，－3， )，倾斜角为 ∴l的参数方程为(t为参数)． (t为参数)，即 代入y＝x－2， t－2t＝1＋＋，得－3 解得t＝4＋2， 即t＝2.＋4为直线l与l′的交点Q所对应的参数值，根据参数t的几何意义，可知|t|＝PQ，∴PQ＝4＋2 2．求直线(t为参数)被圆x2＋y2＝9截得的弦长． 【解】　将. ，t1t2＝－代入圆的方程x2＋y2＝9，得5t2＋8t－4＝0，t1＋t2＝－ |t1－t2|2＝(t1＋t2)2－4t1t2＝， ＝＋ 所以弦长＝.＝·|t1－t2|＝ 3．已知椭圆＝1和点P(2,1)，过P作椭圆的弦，并使点P为弦的中点，求弦所在的直线方程． ＋ 【解】　设弦所在直线的参数方程为，因为P是弦的中点，所以t1＋t2＝0， ＝1，得(cos2α＋4sin2α)·t2＋4(cosα＋2sin α)t－8＝0，所以t1＋t2＝－＋(t为参数)，代入椭圆方程 即－(x－2)，即x＋2y－4＝0..又P(2,1)在椭圆内，所以弦所在的直线方程为y－1＝－＝0，所以cos α＋2sin α＝0，tan α＝－ 4．过抛物线y2＝2px(p>0)的顶点作两条互相垂直的弦OA，OB，求线段AB中点M的轨迹的普通方程． 【解】　由题意知，两弦所在直线的斜率存在且不为0，所以设直线OA的方程为y＝kx， 则OB的方程为y＝－)．同理可求得B点坐标为(2pk2，－2pk)．设AB中点M的坐标为(x，y)， ，所以A点坐标为(或得x，解 则消去k得y2＝px－2p2.所以点M的轨迹方程为y2＝px－2p2. 5．在直角坐标系xOy中，已知曲线C1：(θ为参数，a>0)有一个公共点在x轴上，试求a的值． (t为参数)与曲线C2： 【导学号：98990034】 【解】　∵消去参数t得2x＋y－3＝0. 又＝1. ＋消去参数θ得 方程2x＋y－3＝0中，令y＝0得x＝.＝1.又a>0，∴a＝＝1，得＋，0)代入，将( 6．已知直线l经过点P(1,0)，倾斜角为α＝. (1)写出直线l的参数方程； (2)设直线l与椭圆x2＋4y2＝4相交于两点A、B，求点P到A、B两点的距离之积． 【解】　(1)直线l的参数方程为 即(t为参数)． (2)联立直线与圆的方程得 (1＋t－3＝0， t2＋)2＝4，∴t)2＋4( 所以t1t2＝－. ，即|t1||t2|＝ 所以P到A、B两点的距离之积为. 7．已知抛物线y2＝8x的焦点为F，过F且斜率为2的直线交抛物线于A、B两点． (1)求AB；(2)求AB的中点M的坐标及FM. 【解】　抛物线y2＝8x的焦点为F(2,0)， 依题意，设直线AB的参数方程为 (t为参数)， 其中tan α＝2，cos α＝t－20＝0. ，α为直线AB的倾斜角，代入y2＝8x整理得t2－2，sin α＝ 则t1＋t2＝2，t1t2＝－20. (1)AB＝|t2－t1|＝ ＝＝10. (2)由于AB的中点为M， 故点M对应的参数为， ＝ ∴M(3,2)，FM＝|.|＝ [能力提升] 8．如图4­4­6所示，已知直线l过点P(2,0)，斜率为，直线l和抛物线y2＝2x相交于A，B两点，设线段AB的中点为M，求： 图4­4­6 (1)P，M间的距离PM； (2)点M的坐标； (3)线段AB的长． 【解】　(1)∵直线l过点P(2,0)，斜率为，设直线l的倾斜角为α，则 tan α＝， ，sin α＝，cos α＝ ∴直线l的参数方程的标准形式为 (t为参数)．(*) ∵直线l和抛物线相交，∴将直线l的参数方程代入抛物线方程y2＝2x中， 整理得 8t2－15t－50＝0，Δ＝152＋4×8×50＞0. 设这个二次方程的两个根为t1，t2，由根与系数的关系得t1＋t2＝. ，t1t2＝－ 由M为线段AB的中点，根据t的几何意义，得 PM＝. ＝ (2)因为中点M所对应的参数为tM＝， 将此值代入直线l的参数方程的标准形式(*)， 得 即M()． ， (3)AB＝|t1－t2|＝ ＝. 3 $$学业分层测评(十二) (建议用时：45分钟) [学业达标] 1．当x2＋y2＝4时，求u＝x2＋2xy－y2的最值． 【解】　设(0≤θ<2π)，于是 u＝x2＋2xy－y2 ＝4cos2θ＋8cos θsin θ－4sin2θ ＝4cos 2θ＋4sin 2θ ＝8sin(2θ＋)． 所以，当θ＝，y＝－1时，umax＝8； ，x＝－，y＝1时，或θ＝，x＝ 当θ＝，x＝1， 时，或θ＝，x＝－1，y＝ y＝－时，umin＝－8. 2．若x