2017-2018学年苏教版高中数学选修4-4同步测控：4.4参数方程4.4.3参数方程的应用

4.4.3 参数方程的应用 同步测控 我夯基,我达标 1.已知动圆x2+y2-2axcosθ-2bysinθ=0（a、b是正常数，且a≠b，θ为参数,θ∈［0,2π)），则圆心的轨迹是（ ） A．直线 B．圆 C．抛物线的一部分 D．椭圆 解析：把圆的方程化为标准方程： (x-acosθ)2+(y-bsinθ)2=a2cos2θ+b2sin2θ，其圆心坐标为（acosθ,bsinθ），于是动圆圆心的轨迹方程为消去参数θ,可得＝1，轨迹为椭圆． 答案：D 2.直线(t为参数）和圆x2+y2=16交于A、B两点，则AB的中点坐标为（ ） A．(3,-3) B．(-,3) C．(,-3) D．(3,-) 解析：(1+t)2+(-3+t)2=16，得t2-8t+12=0.∴t1+t2=8,=4，中点为即 答案：D 3.过点（1，1），倾斜角为135°的直线截椭圆所得的弦长为（ ） A. B. C. D. 解析：由题意，可设直线的参数方程为代入椭圆方程中，整理得到5t2+6t＋1＝0，|t1-t2|=，故所求弦长为|t1-t2|=． 答案：B 4.抛物线x2-2y-2mx+m2＋２＝6m的顶点的轨迹方程是_______________． 解析：抛物线方程可化为(x-m)2=2(y+3m-1)，设其顶点坐标为(x,y)，则满足消去参数m，可得y=-3x+1，即3x+y－１＝0． 答案：3x+y－１＝0 5.求椭圆的内接矩形的最大面积． 思路分析：恰当选择参变量，把椭圆内接矩形面积用参数表示出来，再利用函数的性质求解． 解法一：椭圆的参数方程为(参数t∈［0,2π)),设第一象限内椭圆上一点M(x,y)，由椭圆的对称性，知内接矩形的面积为S=4xy=4×5cost×4sint=40sin2t． 当t=时，面积S取得最大值40．此时x=5cos=,y=4sin=2． 因此，矩形在第一象限的顶点为（,2）时,内接矩形的面积最大为40． 解法二：设点M(x,y)是椭圆上第一象限内的点，则=1，且x＞０，y＞０,即１＝()2+()2≥2××， ∴xy≤10