2017-2018学年高中数学（苏教版 选修4-4）（课件+检测+教师用书）：4.4.2参数方程与普通方程的互化 (3份打包)

学业分层测评(十) (建议用时：45分钟) [学业达标] 1．将下列参数方程化为普通方程： (1)(θ为参数，a、b为常数，且a＞b＞0)； (2)(t为参数，p为正常数)． 【解】　(1)由cos2θ＋sin2θ＝1，得＝1， ＋ 这是一个长轴长为2a，短轴长为2b，中心在原点的椭圆． (2)由已知t＝·2p＝x， ，代入x＝2pt2得 即y2＝2px， 这是一条抛物线． 2．已知抛物线C的参数方程为(t为参数)．若斜率为1的直线经过抛物线C的焦点，且与圆(x－4)2＋y2＝r2(r＞0)相切，求r的值． 【解】　由.＝得y2＝8x，抛物线C的焦点坐标为F(2,0)，直线方程为y＝x－2，即x－y－2＝0.因为直线y＝x－2与圆(x－4)2＋y2＝r2相切，由题意得r＝ 3．若直线(t为参数)与直线4x＋ky＝1垂直，求常数k的值． 【解】　将化为普通方程为 y＝－， ，斜率k1＝－x＋ 当k≠0时，直线4x＋ky＝1的斜率k2＝－， 由k1k2＝(－)＝－1得k＝－6； )×(－ 当k＝0时，直线y＝－与直线4x＝1不垂直．综上可知，k＝－6.x＋ 4．过椭圆＝1内一定点P(1,0)作弦，求弦的中点的轨迹． ＋ 【解】　设弦的两端点A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M(x，y)．当AB与x轴不垂直时，设AB的方程为y＝k(x－1)，代入方程， ＝1，得(9k2＋4)x2－18k2x＋9k2－36＝0.由根与系数的关系，得x1＋x2＝＋ 所以k， ＝－∴ 即k＝－＝1.①＋，代入y＝k(x－1)中，得4x2＋9y2－4x＝0，即 当AB⊥Ox轴时，线段AB的中点为(1,0)，该点的坐标满足方程①，所以所求的轨迹方程为＝1.点M的轨迹是以O、P为长轴端点且离心率与原椭圆相同的一个椭圆．＋ 5．已知某条曲线C的参数方程为(其中t是参数，α∈R)，点M(5,4)在该曲线上， (1)求常数a； (2)求曲线C的普通方程． 【解】　(1)由题意，可知故 所以a＝1. (2)由已知及(1)得， 曲线C的方程为 由①得t＝)2， ，代入②得y＝( 即(x－1)2＝4y为所求． 6．已知极坐标系的极点O与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，曲线C1：ρcos(t∈R)交于A、B两点．求证：OA⊥OB. 与曲线C2：＝2 【导学号：98990031】 【证明】　曲线C1的直角坐标方程为x－y＝4，曲线C2的直角坐标方程是抛物线y2＝4x. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，将这两个方程联立，消去x， 得y2－4y－16＝0⇒y1y2＝－16，y1＋y2＝4. ∴x1x2＋y1y2＝(y1＋4)(y2＋4)＋y1y2＝2y1y2＋4(y1＋y2)＋16＝0，∴＝0，∴OA⊥OB.· 7．设点M(x，y)在圆x2＋y2＝1上移动，求点P(x＋y，xy)的轨迹． 【解】　设点M(cos θ，sin θ)(0≤θ＜2π)，点P(x′，y′)，则 ①2－2×②，得x′2－2y′＝1，即x′2＝2(y′＋)， ∴所求点P的轨迹方程为x2＝2(y＋)，开口向上的抛物线的一部分．)．它是顶点为(0，－，|y|≤)(|x|≤ [能力提升] 8．在平面直角坐标系xOy中，求圆C的参数方程为.若直线l与圆C相切，求r的值． )＝2(θ为参数，r＞0)，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos(θ＋ 【解】　将直线l的极坐标方程化为直角坐标方程得：x－y－4＝0， 将圆C的参数方程化为普通方程得：(x＋1)2＋y2＝r2， 由题设知：圆心C(－1,0)到直线l的距离为r，即r＝， ＝ 即r的值为. 4 $$4.4.2　参数方程与普通方程的互化 1．能通过消去参数将参数方程化为普通方程． 2．能选择适当的参数将普通方程化为参数方程． [基础·初探] 1．过定点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程为(l为参数)，其中参数l的几何意义：有向线段P0P的数量(P为该直线上任意一点)． 2．圆x2＋y2＝r2的参数方程为(θ为参数)． 圆心为M0(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为(θ为参数)． 3．椭圆(φ为参数)． ＝1的参数方程为＋ [思考·探究] 1．普通方程化为参数方程，参数方程的形式是否惟一？ 【提示】　不一定惟一．如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同． 2．将参数方程化为普通方程时，消去参数的常用方法有哪些？ 【提示】　①代入法．先由一个方程求出参数的表达式(用直角坐标变量表示)，再代入另一个方程． ②利用代数或三角函数中的恒等式消去参数．例如对于参数方程如果t是常数，θ是参数，那么可以利用公式sin2θ＋cos2θ＝1消参；如果θ是常数，t是参数，那么适当变形后可以