2017-2018学年高中数学（苏教版 选修4-4）（课件+检测+教师用书）：4.4.1 参数方程的意义 (3份打包)

学业分层测评(九) (建议用时：45分钟) [学业达标] 1．如图4­4­2，OB是机器上的曲柄，长是r，绕点O转动，AB是连杆，M是AB上一点，MA＝a，MB＝b(2r＜a＋b)．当点A在Ox上做往返运动，点B绕着O做圆周运动时，求点M的轨迹方程． 图4­4­2 【解】　如题图，设点M(x，y)，θ＝∠BAO，由点B作BC⊥Ox，交Ox于点C，由点M作MD⊥Ox，交Ox于点D，由点M作ME⊥BC，交BC于点E，那么y＝DM＝asin θ， x＝OD＝OC＋CD＝OC＋EM ＝±＋EM ＝±＋bcos θ， 得到点M(x，y)的坐标满足方程组 即为点M的轨迹方程． 2．动点M作匀速直线运动，它在x轴和y轴方向上的分速度分别为9 m/s和12 m/s，运动开始时，点M位于A(1,1)，求点M的轨迹方程． 【解】　设t s后点M的坐标为(x，y)， 则所以点M的轨迹方程为 (t≥0)． 3．以椭圆＋y2＝1的长轴的左端点A与椭圆上任意一点连线的斜率k为参数，将椭圆方程化为参数方程． 【导学号：98990028】 【解】　椭圆＋y2＝1的长轴的左端点A的坐标为(－2,0)． 设P(x，y)为椭圆上任意一点(除点A)，则点P的坐标满足 将＋y2＝1，消去x， ＝k代入 得(y＝0. ＋4)y2－ 解得y＝0，或y＝. 由y＝； ，解得x＝ 由y＝0，解得x＝2. 由于(2,0)满足方程组 所以椭圆＋y2＝1的参数方程为 4．△ABC是圆x2＋y2＝1的内接三角形，已知A(1,0)，∠BAC＝60°，求△ABC的重心的轨迹方程． 【解】　因为∠BAC＝60°，所以∠BOC＝120°. 设B(cos θ，sin θ)(0°＜θ＜240°)， 则有C(cos(θ＋120°)，sin(θ＋120°))．设重心坐标为(x，y)，则 所以 即 消去θ＋60°，得(3x－1)2＋9y2＝1， ∵0°＜θ＜240°， ∴－1≤cos(θ＋60°)＜， ∴0≤， ＜ 即0≤x＜. ∴△ABC的重心的轨迹方程为(x－)．(0≤x<)2＋y2＝ 5．如图4­4­3，过抛物线y2＝4x上任一点M作MQ垂直于准线l，垂足为Q，连接OM和QF(F为焦点)相交于点P，当M在抛物线上运动时，求点P的轨迹方程． 图4­4­3 【解】　设直线OM的方程为y＝kx(k≠0)， 由)， ，所以M(或得 则Q(－1，)，于是直线QF的方程为 y＝(x－1)． (x－1)，即y＝－ 由 消去k，得2x2＋y2－2x＝0. 所以点P的轨迹方程为2x2＋y2－2x＝0(y≠0)． 6．如图4­4­4所示，OA是圆C的直径，且OA＝2a，射线OB与圆交于Q点，和经过A点的切线交于B点，作PQ⊥OA，PB∥OA，试求点P的轨迹方程． 图4­4­4 【解】　设P(x，y)是轨迹上任意一点，取∠DOQ＝θ，由PQ⊥OA，PB∥OA，得 x＝OD＝OQcos θ＝OAcos2θ＝2acos2θ， y＝AB＝OAtan θ＝2atan θ. 所以P点轨迹的参数方程为 )．，θ∈(－ 7．已知点P(x，y)是曲线C：上的任意一点，求3x＋y的取值范围． 【解】　设P(3＋cos θ，2＋sin θ)， 则3x＋y＝3(3＋cos θ)＋(2＋sin θ) ＝11＋3cos θ＋)， sin(θ＋sin θ＝11＋2 ∴3x＋y的最大值为11＋2]．，11＋2，取值范围是[11－2，最小值为11－2 [能力提升] 8．如图4­4­5，已知曲线4x2＋9y2＝36(x＞0，y＞0)，点A在曲线上移动，点C(6,4)，以AC为对角线作矩形ABCD，使AB∥x轴，AD∥y轴，求矩形ABCD的面积最小时点A的坐标． 图4­4­5 【解】　∵椭圆方程为＝1(x＞0，y＞0)， ＋ 设A(3cos θ，2sin θ)，θ∈(0，)， 则B(6,2sin θ)，C(6,4)，D(3cos θ，4)， 所以SABCD＝AB·AD＝(6－3cos θ)(4－2sin θ) ＝24－12(sin θ＋cos θ)＋6sin θcos θ. 令t＝sin θ＋cos θ，则t∈(1，， ]，sin θcos θ＝ 则SABCD＝3(t－2)2＋9. 因为t∈(1，时， ]，所以当t＝ 矩形面积最小，即t＝sin θ＋cos θ＝， )＝sin(θ＋ 此时，θ＝. 所以矩形ABCD的面积最小时点A坐标是()． ， 5 $$ 4.4.1　参数方程的意义 1．理解曲线参数方程的概念，能选取适当的参数建立参数方程． 2．通过常见曲线的参数方程的研究，了解某些参数的几何意义和物理意义． [基础·初探] 1．参数方程的定义 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C上任意一点P的坐标x和y都可以表示为某个变量t的函数叫做曲线C的参数