2017-2018学年高中数学（苏教版 选修4-4）（课件+检测+教师用书）：4.1.2　极坐标系 (3份打包)

学业分层测评(二) (建议用时：45分钟) [学业达标] 1．在极坐标系中，作出下列各点： A，E(4，0)，F(2.5，π)． ，D，C，B 【解】　各点描点如下图． 2．极坐标系中，点A的极坐标是(3，)，求点A关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标． 【解】　极坐标系中的点(ρ，θ)关于过极点且垂直于极轴的直线对称的点的极坐标为(ρ，(2k＋1)π－θ)(k∈Z)，利用此，即可写出其中一个为(3，)． 3．已知点M的极坐标为，若限定ρ＞0,0≤θ＜2π，求点M的极坐标． 【解】　∵(－ρ，θ)与(ρ，θ＋π)表示同一点， ∴(－2，)．)为同一点的极坐标，故点M的极坐标为(2，)与(2， 4．在极坐标中，若等边△ABC的两个顶点是A，那么顶点C的坐标是多少？ 、B 【解】　如右图，由题设可知A、B两点关于极点O对称，即O是AB的中点． 又AB＝4，△ABC为正三角形，OC＝2， ＝－－或θ＝＝＋，C对应的极角θ＝，∠AOC＝ 即C点极坐标为 .或 5．设有一颗彗星，围绕地球沿一抛物线轨道运行，地球恰好位于该抛物线轨道的焦点处，当此彗星离地球为30(万千米)时，经过地球和彗星的直线与抛物线的轴的夹角为，试建立适当的极坐标系，写出彗星此时的极坐标． 【解】　如图所示，建立极坐标系，使极点O位于抛物线的焦点处，极轴Ox过抛物线的对称轴，由题设可得下列四种情形：(1)当θ＝时，ρ ＝30(万千米)． 时，ρ＝30(万千米)；(4)当θ＝时，ρ＝30(万千米)；(3)当θ＝时，ρ＝30(万千米)；(2)当θ＝ 彗星此时的极坐标有四种情形：(30，)．)，(30，)，(30，)，(30， 6．已知A、B两点的极坐标分别是，求A、B两点间的距离和△AOB的面积． 、 【解】　求两点间的距离可用如下公式： AB＝ ＝. ＝2 S△AOB＝|ρ1ρ2sin(θ1－θ2)| ＝×2×4＝4.)|＝－|2×4×sin( 7．已知定点P. (1)将极点移至O′处极轴方向不变，求P点的新坐标； (2)极点不变，将极轴顺时针转动角，求P点的新坐标． 【导学号：98990005】 【解】　(1)设P点新坐标为(ρ，θ)，如图所示，由题意可知OO′＝2， ，OP＝4，∠POx＝ ∠O′Ox＝， ∴∠POO′＝. 在△POO′中， ρ2＝42＋(2， ＝＝16＋12－24＝4，∴ρ＝2.又∵·cos )2－2·4·2 ∴sin∠OPO′＝， ＝·2 ∴∠OPO′＝. ∴∠OP′P＝π－， ＝－ ∴∠PP′x＝. ∴∠PO′x′＝. ∴P点的新坐标为(2，)． (2)如图，设P点新坐标为(ρ，θ)， 则ρ＝4，θ＝. ＝＋ ∴P点的新坐标为(4，)． [能力提升] 8．已知△ABC三个顶点的极坐标分别是A，试判断△ABC的形状，并求出它的面积． ，C，B 【解】　∵C(4， ＝－)，∠AOB＝， 且AO＝BO， 所以△AOB是等边三角形， AB＝5， BC＝ ， ＝ AC＝ ， ＝ ∵AC＝BC， ∴△ABC为等腰三角形， AB边上的高为4， ＝＋5× ∴S△ABC＝.＝×5× 5 $$4.1.2　极坐标系 1．了解极坐标系． 2．会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置． 3．体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别． [基础·初探] 1．极坐标系 (1)在平面上取一个定点O，自点O引一条射线Ox，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系．其中，点O称为极点，射线Ox称为极轴． (2)设M是平面上任一点，ρ表示OM的长度，θ表示以射线Ox为始边，射线OM为终边所成的角．那么，每一个有序实数对(ρ，θ)确定一个点的位置． ρ称为点M的极径，θ称为点M的极角．有序实数对(ρ，θ)称为点M的极坐标．约定ρ＝0时，极角θ可取任意角． (3)如果(ρ，θ)是点M的极坐标，那么(ρ，θ＋2kπ)或(－ρ，θ＋(2k＋1)π)(k∈Z)都可以看成点M的极坐标． 2．极坐标与直角坐标的互化 以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位(如图4­1­3所示)，平面内任一点M的直角坐标(x，y)与极坐标(ρ，θ)可以互化，公式是：或 图4­1­3 通常情况下，将点的直角坐标化为极坐标时，取ρ≥0,0≤θ＜2π. [思考·探究] 1．建立极坐标系需要哪几个要素？ 【提示】　建立极坐标系的要素是：(1)极点；(2)极轴；(3)长度单位；(4)角度单位和它的正方向，四者缺一不可． 2．为什么点的极坐标不惟一？ 【提示】　根据我们学过的任意角的概念：一是终边相同的角有无数个，它们相差2π的整数倍，所以点(ρ，θ)还可以写成(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)；二是终边在一条直线上且互为反