2017-2018学年高中数学（人教B版 选修2-2）（课件+检测+教师用书）：第1章 章末分层突破 (2份打包)

章末分层突破 [自我校对] ①导数及其应用　②导数的运算 ③曲线的切线斜率　④导数的四则运算　⑤函数的单调性　⑥曲线的切线　⑦最优化问题　⑧曲边梯形的面积　⑨微积分基本定理的应用 　 导数的几何意义及其应用 利用导数的几何意义求切线方程时关键是搞清所给的点是不是切点，常见的类型有两种，一是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，先求导，再求斜率代入直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q(x1，y1)，则切线方程为y－y1＝f′(x1)(x－x1)，再由切线过点P(x0，y0)得 y0－y1＝f′(x1)(x0－x1)，① 又y1＝f(x1)，② 由①②求出x1，y1的值， 即求出了过点P(x0，y0)的切线方程． 　(1)曲线y＝xex－1在点(1,1)处切线的斜率等于(　　) A．2e　　　　　　　　 B．e C．2 D．1 (2)已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如图1­1所示，则该函数的图象是(　　) 【导学号：05410035】 图1­1 【精彩点拨】　(1)曲线在点(1,1)处的切线斜率即为该点处的导数． (2)由导数值的大小变化，确定原函数的变化情况，从而得出结论． 【规范解答】　(1)y′＝ex－1＋xex－1＝(x＋1)ex－1，故曲线在点(1,1)处的切线斜率为k＝2. (2)从导函数的图象可以看出，导函数值先增大后减小，x＝0时最大，所以函数f(x)的图象的变化率也先增大后减小，在x＝0时变化率最大．A项，在x＝0时变化率最小，故错误；C项，变化率是越来越大的，故错误；D项，变化率是越来越小的，故错误；B项正确． 【答案】　(1)C　(2)B [再练一题] 1．已知曲线y＝. x3＋ (1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点P(2,4)的切线方程； (3)求斜率为4的曲线的切线方程． 【解】　(1)∵P(2,4)在曲线y＝上，且y′＝x2， x3＋ ∴在点P(2,4)处的切线的斜率k＝4. ∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0. (2)设曲线y＝. ，则切线的斜率k＝x与过点P(2,4)的切线相切于点Ax3＋ ∴切线方程为y－(x－x0)， ＝x 即y＝x. ＋x·x－ ∵点P(2,4)在切线上， ∴4＝2x＋4＝0， －3x，即x＋x－ ∴x＋4＝0. －4x＋x ∴x(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0， ∴(x0＋1)(x0－2)2＝0， 解得x0＝－1或x0＝2，故所求的切线方程为4x－y－4＝0或x－y＋2＝0. (3)设切点为(x0，y0)， 则切线的斜率k＝x＝4，∴x0＝±2. ∴切点为(2,4)或. ∴斜率为4的曲线的切线方程为y－4＝4(x－2)和y＋＝4(x＋2)， 即4x－y－4＝0和12x－3y＋20＝0. 利用导数判断函数的单调性 利用导数的符号判断函数的增减性，进而确定函数的单调区间，这是导数的几何意义在研究曲线变化规律时的一个应用，它充分体现了数形结合思想．这部分内容要注意的是f(x)为增函数⇔f′(x)≥0且f′(x)＝0的根有有限个，f(x)为减函数⇔f′(x)≤0且f′(x)＝0的根有有限个． 　设函数f(x)＝xea－x＋bx，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝(e－1)x＋4. (1)求a，b的值； (2)求f(x)的单调区间． 【精彩点拨】　(1)利用导数的几何意义和求导运算建立方程组求未知数．(2)利用导数与函数单调性的关系判断函数的单调性． 【规范解答】　(1)因为f(x)＝xea－x＋bx， 所以f′(x)＝(1－x)ea－x＋b. 依题设，即 解得 (2)由(1)知f(x)＝xe2－x＋ex. 由f′(x)＝e2－x(1－x＋ex－1)及e2－x＞0知，f′(x)与1－x＋ex－1同号． 令g(x)＝1－x＋ex－1，则g′(x)＝－1＋ex－1. 所以，当x∈(－∞，1)时，g′(x)<0，g(x)在区间(－∞，1)上单调递减； 当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)在区间(1，＋∞)上单调递增． 故g(1)＝1是g(x)在区间(－∞，＋∞)上的最小值， 从而g(x)>0，x∈(－∞，＋∞)． 综上可知，f′(x)>0，x∈(－∞，＋∞)，故f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)． [再练一题] 2．(1)讨论函数f(x)＝ex的单调性，并证明当x＞0时，(x－2)ex＋x＋2＞0； (2)证明：当a∈[0,1)时，函数g(x)＝(x＞0)有最小值．设g(x)的最小值为h(a)，求函数h(a)的值域． 【解】　(1)f(x)的定义域为(－∞，－2)∪