2017-2018学年高中数学（人教B版 选修2-1）（课件+检测+教师用书）：第3章 章末分层突破 (2份打包)

章末分层突破 [自我校对] ①共面向量定理 ②坐标表示 ③加减运算 ④坐标运算 ________________________________________________________ ________________________________________________________ ________________________________________________________ 空间向量的概念及运算 1.空间向量的线性运算包括加、减及数乘运算，选定空间不共面的三个向量作为基向量，并用它们表示出目标向量，这是用向量法解决立体几何问题的基本要求，解题时可结合已知和所求，根据图形，利用向量运算法则表示所需向量． 2．空间向量的数量积 (1)空间向量的数量积的定义表达式a·b＝|a|·|b|·cos〈a，b〉及其变式cos〈a，b〉＝是两个重要公式． (2)空间向量的数量积的其他变式是解决立体几何问题的重要公式，如a2＝|a|2，a在b上的投影＝|a|·cos θ等． 　给出下列命题： ①若，则必有A与C重合，B与D重合，AB与CD为同一线段； ＝ ②若a·b＜0，则〈a，b〉为钝角； ③若a是直线l的方向向量，则λa(λ∈R)也是l的方向向量； ④非零向量a，b，c满足a与b，b与c，c与a都是共面向量，则a，b，c必共面． 其中错误命题的个数是(　　) A．1　　　 B．2　　　 C．3　　　 D．4 【精彩点拨】　紧扣空间向量的相关概念、运算法则加以判断，注意举反例的思想方法． 【规范解答】　①错误，如在正方体ABCD­A1B1C1D1中，不共面． ，，＝c，则它们两两共面，但＝b，＝a，；③错误，当λ＝0时，λa＝0，不是l的方向向量；④错误，如在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，令＜〈a，b〉≤π，而钝角的范围是，但线段AB与A1B1不重合；②错误，a·b＜0，即cos〈a，b〉＜0，得＝ 【答案】　D [再练一题] 1．已知正方体ABCD­A1B1C1D1中，)，则x＝________，y＝________. ＋＋y(＝x，若＝ 图3­1 【解析】　由题知)， ＋(＋＝＋＝＋＝ 从而有x＝1，y＝. 【答案】　1　 空间向量与线面关系 空间图形中的平行、垂直问题是立体几何中最重要的问题之一，利用空间向量证明平行和垂直问题，主要是运用直线的方向向量和平面的法向量，借助空间中已有的一些关于平行和垂直的定理，再通过向量运算来解决． 　在四棱锥P­ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥底面ABCD，PA＝AD＝CD＝2AB＝2，M为PC的中点． (1)求证：BM∥平面PAD； (2)平面PAD内是否存在一点N，使MN⊥平面PBD？若存在，确定N的位置；若不存在，说明理由． 【精彩点拨】　(1)证明向量垂直于平面PAD的一个法向量即可； (2)假设存在点N，设出其坐标，利用，列方程求其坐标即可． ⊥，⊥ 【规范解答】　以A为原点，以AB，AD，AP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图所示，则B(1,0,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，C(2,2,0)，M(1,1,1)， (1)∵＝(0,1,1)， 平面PAD的一个法向量为n＝(1,0,0)， ∴⊥n， ·n＝0，即 又BM⊄平面PAD，∴BM∥平面PAD. (2)＝(1,0，－2)， ＝(－1,2,0)， 假设平面PAD内存在一点N，使MN⊥平面PBD. 设N(0，y，z)，则＝(－1，y－1，z－1)， 从而MN⊥BD，MN⊥PB， ∴即 ∴，使MN⊥平面PBD.，∴在平面PAD内存在一点N∴N [再练一题] 2.如图3­2所示，已知PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，PA＝AD，M，N分别为AB，PC的中点．求证： 图3­2 (1)MN∥平面PAD； (2)平面PMC⊥平面PDC. 【证明】　(1)法一　如图所示，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系Axyz.设PA＝AD＝a，AB＝b，则有P(0,0，a)，A(0,0,0)，D(0，a,0)，C(b，a,0)，B(b,0,0)， ∵M，N分别为AB，PC的中点， ∴M. ，N ∴＝(0，a,0)， ＝(0,0，a)，，＝ ∴. ＋＝ 又∵MN⊄平面PAD，∴MN∥平面PAD. 法二　易知为平面PAD的一个法向量． ， ＝＝(b,0,0)，又 ∴＝0， · ∴.又MN⊄平面PAD， ⊥ ∴MN∥平面PAD. (2)由(1)可知，P(0,0，a)，C(b，a,0)，M，D(0，a,0)． 所以， ＝＝(b，a，－a)， ＝(0，a，－a)． 设平面PMC的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)， 则得 ∴令z