精品解析:湖南省长沙市长郡中学2017届高三5月模拟考试文数试题

湖南省长沙市长郡中学2017届高三5月模拟考试 数学（文）试题 第Ⅰ卷（共60分） 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则　　 A. B. C. D. 2. 设复数满足（i为虚数单位），则在复平面内对应的点位于( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 某人到甲、乙两市各个小区调查空置房情况，调查得到的小区空置房的套数绘成了如图的茎叶图，则调查中甲市空置房套数的中位数与乙市空置房套数的中位数之差为 A. B. C. D. 4. 给出下列四个命题，其中真命题的个数是（ ） ①回归直线恒过样本中心点； ②“”是“”的必要不充分条件； ③“，使得”的否定是“对，均有”； ④“命题”为真命题，则“命题”也是真命题. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 5. 若正整数除以正整数后的余数为，则记为，例如，如图程序框图的算法源于我国古代《孙子算经》中的“孙子定理”的某一环节，执行该框图，输入，，，则输出的 A. 6 B. 9 C. 12 D. 21 6. 已知、是圆：上的两个动点，，，若是线段的中点，则的值为 A. B. C. D. 7. “”是“直线和直线垂直”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 8. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A. B. C. D. 9. 若函数f(x)=x2+bx+c的图象的顶点在第四象限，则函数f'(x)的图象可能是（ ） A B. C. D. 10. 已知，将图象向右平移了个单位，再向上平移1个单位，得到的图象，若对任意实数，都有成立，则 A. B. 1 C. D. 0 11. 双曲线的左、右焦点分别为、，为双曲线右支上一点，且，若，则双曲线离心率的取值范围是 A. B. C. D. 12. 设正实数，，满足，则当取得最大值时，的最大值为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（共90分） 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13. 《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半．问何日相逢，各穿几何？题意是：有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半”，如果墙厚， __________天后两只老鼠打穿城墙． 14. 在锐角中，，，，则__________． 15. 过定点的直线与曲线交于不同的两点，则直线的斜率的取值范围是__________． 16. 某高新技术公司要生产一批新研发的款手机和款手机，生产一台款手机需要甲材料，乙材料，并且需要花费1天时间，生产一台款手机需要甲材料，乙材料，也需要1天时间，已知生产一台款手机利润是1000元，生产一台款手机的利润是2000元，公司目前有甲、乙材料各，则在不超过120天的情况下，公司生产两款手机的最大利润是__________元． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 设等差数列的前项和为，若，. （1）求数列的通项公式； （2）设，若的前项和为，证明：. 18. 如图所示，在三棱柱中，平面，，是的中点，. （1）求证：平面平面； （2）求点到平面的距离. 19. 长郡中学学习兴趣小组通过随机询问某地100名高中学生在选择座位时是否挑同桌，得到如下列联表： 男生 女生 合计 挑同桌 30 40 70 不挑同桌 20 10 30 总计 50 50 100 （1）从这50名男生中按是否挑同桌采取分层抽样的方法抽取一个容量为5的样本，现从这5人中随机选取3人做深层采访，求这3名学生中至少有2名要挑同桌的概率； （2）根据以上列联表，是否有95%以上的把握认为“性别与在选择座位时是否挑同桌”有关？下面的临界值表仅供参考： 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5024 6.635 7.879 10.828 （参考公式：，其中） 20. 已知抛物线的准线为，焦点为，为坐标原点. （1）求过点，且与相切的圆的方程； （2）过的直线交抛物线于两点，关于轴的对称点为，求证：直线过定点. 21. 已知函数，（且）为定义域上的增函数，是函数的导数，且的最小值小于等于0. （1）求值； （2）设函数，且，求证：. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果