2017-2018学年高一数学苏教版必修5课件+教师用书+练习：第3章 3.4 基本不等式 (6份打包)

3.4　基本不等式(a≥0，b≥0) ≤ 3.4.1　基本不等式的证明 1．理解基本不等式的内容及证明．(重点) 2．能运用基本不等式证明简单的不等式．(重点) 3．能用基本不等式求解简单的最大(小)值问题．(难点) [基础·初探] 教材整理1　算术平均数与几何平均数 阅读教材P96，完成下列问题． 对于正数a，b，我们把称为a，b的几何平均数． 称为a，b的算术平均数， 若两个正数a，b的算术平均数为2，几何平均数为2，则a＝ ，b＝ . 【解析】　由题意可知 ∴∴a＝2，b＝2. 【答案】　2　2 教材整理2　基本不等式 阅读教材P97～P98，完成下列问题． 如果a，b是正数，那么(a≥0，b≥0)称为基本不等式． ≤(当且仅当a＝b时取“＝”)，我们把不等式≤ 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对任意a，b∈R，都有a＋b≥2成立．(　　) (2)不等式a2＋4≥4a成立的条件是a＝2.(　　) 【答案】　(1)×　(2)√ [小组合作型] 用基本不等式证明不等式 　已知a，b，c为不全相等的正数． (1)求证：a＋b＋c>； ＋＋ (2)求证：≥a＋b＋c. ＋＋ 【精彩点拨】　(1)利用a＋b≥2求证；，b＋c≥2，a＋c≥2 (2)利用求证．＋a≥2；＋c≥2；＋b≥2 【自主解答】　(1)∵a>0，b>0，c>0， ∴a＋b≥2.，b＋c≥2，a＋c≥2 又a，b，c为不全相等的正数， ∴a＋b＋c≥.＋＋ 又a，b，c互不相等， 故等号不能同时取到， 所以a＋b＋c>.＋＋ (2)∵a，b，c，均大于0，，， ∴＝2a，＋b≥2 当且仅当＝b时等号成立． ＝2b，＋c≥2 当且仅当＝c时等号成立． ＝2c，＋a≥2 当且仅当＝a时等号成立． 相加得＋a≥2a＋2b＋2c，＋c＋＋b＋ ∴≥a＋b＋c.＋＋ 利用基本不等式证明不等式的条件要求： (1(利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式中必须有“和”或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，从而达到放缩的效果. (2(注意多次运用基本不等式时等号能否取到. [再练一题] 1．已知a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1. 求证：≥9. ＋＋ 【证明】　法一　∵a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1， ∴＋＋ ＝＋＋ ＝3＋≥3＋2＋2＋2＝9.＋＋ 当且仅当a＝b＝c＝时等号成立． 法二　∵a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1， ∴(a＋b＋c)＝＋＋ ＝3＋≥3＋2＋2＋2＝9，＋＋ 当且仅当a＝b＝c＝时等号成立． [探究共研型] 应用基本不等式应注意的问题 探究1　不等式“x＋＝2”成立吗？为什么？ ≥2 【提示】　不成立．如当x<0时，x＋<0，显然不成立． 探究2　当x<0时，能否应用基本不等式求解，x＋的范围是多少？ 【提示】　可以，当x<0时，－x>0， ∴x＋＝－ ≤－2＝－2. 当且仅当－x＝－，即x＝－1时等号成立， ∴x＋∈(－∞，－2]． 探究3　当x≥0时，如何求“x＋”的最小值？ 【提示】　x＋，即x＝0时等号成立．－1＝2－1＝1，当且仅当x＋1＝－1≥2＝(x＋1)＋ 　求函数y＝(x>－1)的最小值，并求相应的x值． 【精彩点拨】　 【自主解答】　y＝＋5，＝(x＋1)＋＝ ∵x>－1，∴x＋1>0， ∴y≥2＋5 ＝4＋5＝9. 当且仅当x＋1＝，即x＝1时，等号成立． ∴函数y＝(x>－1)的最小值为9，此时x＝1. 1．基本不等式使用的条件为“一正、二定、三相等”，三个条件缺一不可．在解题过程中，为了达到使用基本不等式的条件，往往需要通过配凑、裂项、转化、分离常数等变形手段，创设一个应用基本不等式的情境． 2．应用基本不等式求函数最值，常见类型如下： (1)构造积为定值，利用基本不等式求最值； (2)构造和为定值，利用基本不等式求最值． [再练一题] 2．(1)已知0<x<，求函数y＝x(1－3x)的最大值； (2)已知x>的最小值. ，求函数y＝4x－2＋ 【导学号：92862095】 【解】　(1)∵0<x<， ∴1－3x>0， ∴y＝x(1－3x)＝·3x(1－3x)≤ ，＝ 当且仅当x＝.时，函数y＝x(1－3x)取得最大值 (2)∵x>，∴4x－5>0， ∴y＝4x－2＋＋3＝4x－5＋ ≥2＋3＝5. 当且仅当4x－5＝， 即x＝时取等号． ∴当x＝时，y取最小值为5. 1．a＋1≥2(a>0)中等号成立的条件是 ． 【解析】　等号成立的条件是两项相等，即a＝1. 【答案】　a＝1 2．函数f(x)＝2x＋(x>0)有最小值为 ． 【解析】　2x＋＝8，当且仅当x＝2时等号成立．≥2