必修5 3.4.1 基本不等式的证明-2021-2022学年高中数学高二上册【名师导航】同步Word教参(苏教版)

3．3　二元一次不等式组与简单的线性规划问题 (新课程标准合格考不作要求，略) 3．4　基本不等式(a≥0，b≥0) ≤ 3．4.1　基本不等式的证明 学习目标：1.理解基本不等式的内容及证明．(重点)2.能运用基本不等式证明简单的不等式．(重点)3.能用基本不等式求解简单的最大(小)值问题．(难点) 1．算术平均数与几何平均数 对于正数a，b，我们把称为a，b的几何平均数．称为a，b的算术平均数， 2．基本不等式 如果a，b是正数，那么(a≥0，b≥0)称为基本不等式．≤(当且仅当a＝b时取“＝”)，我们把不等式≤ [基础自测] 1．思考辨析 (1)对任意a，b∈R，都有a＋b≥2成立． (　　) (2)不等式a2＋4≥4a成立的条件是a＝2. (　　) [答案]　(1)×　(2)√ 2．若两个正数a，b的算术平均数为2，几何平均数为2，则a＝________，b＝________. [解析]　由题意可知 ∴ ∴a＝2，b＝2. [答案]　2　2 用基本不等式证明不等式 　已知a，b，c为不全相等的正数． (1)求证：a＋b＋c>；＋＋ (2)求证：≥a＋b＋c.＋＋ [思路探究]　(1)利用a＋b≥2求证；，b＋c≥2，a＋c≥2 (2)利用求证．＋a≥2；＋c≥2；＋b≥2 [解]　(1)∵a>0，b>0，c>0， ∴a＋b≥2.，b＋c≥2，a＋c≥2 又a，b，c为不全相等的正数， ∴a＋b＋c≥.＋＋ 又a，b，c互不相等， 故等号不能同时取到， 所以a＋b＋c>.＋＋ (2)∵a，b，c，均大于0，，， ∴＝2a，＋b≥2 当且仅当＝b时等号成立． ＝2b，＋c≥2 当且仅当＝c时等号成立． ＝2c，＋a≥2 当且仅当＝a时等号成立． 相加得＋a＋c＋＋b＋ ≥2a＋2b＋2c， ∴≥a＋b＋c.＋＋ [规律方法]　 利用基本不等式证明不等式的条件要求： （1）利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式中必须有“和”或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，从而达到放缩的效果. （2）注意多次运用基本不等式时等号能否取到. [跟踪训练] 1．已知a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1. 求证：≥9.＋＋ [证明]　法一：∵a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1， ∴＋＋ ＝＋＋ ＝3＋≥3＋2＋2＋2＝9.＋＋ 当且仅当a＝b＝c＝时等号成立． 法二：∵a，b，c∈(0，＋∞)， 且a＋b＋c＝1， ∴(a＋b＋c)＝＋＋ ＝3＋＋＋ ≥3＋2＋2＋2 ＝9， 当且仅当a＝b＝c＝时等号成立. 应用基本不等式应注意的问题 [探究问题] 1．不等式“x＋＝2”成立吗？为什么？≥2 [提示]　不成立．如当x<0时，x＋<0，显然不成立． 2．当x<0时，能否应用基本不等式求解，x＋的范围是多少？ [提示]　可以，当x<0时，－x>0， ∴x＋＝－ ≤－2＝－2. 当且仅当－x＝－，即x＝－1时等号成立， ∴x＋∈(－∞，－2]． 3．当x≥0时，如何求“x＋”的最小值？ [提示]　x＋，即x＝0时等号成立．－1＝2－1＝1，当且仅当x＋1＝－1≥2＝(x＋1)＋ 　求函数y＝(x>－1)的最小值，并求相应的x值． [思路探究]　 [解]　y＝＋5，＝(x＋1)＋＝ ∵x>－1，∴x＋1>0， ∴y≥2＋5＝4＋5＝9. 当且仅当x＋1＝，即x＝1时，等号成立． ∴函数y＝(x>－1)的最小值为9，此时x＝1. 母题探究：1.(变条件)本例条件改为当x＜－1时，求y＝的最大值，并求相应x的值． [解]　y＝＋5＝(x＋1)＋ ∵x<－1，∴x＋1<0， 　∴－y＝[－(x＋1)]＋－5≥4－5＝－1， ∴y≤1， 当且仅当x＋1＝， 即x＝－3时，等号成立． ∴函数y＝(x<－1)的最大值为1，此时x＝－3. 2．(变条件)本例条件改为当x>－1时，求y＝的最大值，并求相应x的值． [解]　y＝＝ ＝， ∵x>－1，∴x＋1>0， 　∴y≤，　＝ 当且仅当x＋1＝，即x＝0时，等号成立． ∴y＝，(x>－1)的最大值为 此时x＝0. [规律方法]　 1．基本不等式使用的条件为“一正、二定、三相等”，三个条件缺一不可．在解题过程中，为了达到使用基本不等式的条件，往往需要通过配凑、裂项、转化、分离常数等变形手段，创设一个应用基本不等式的情境． 2．应用基本不等式求函数最值，常见类型如下： (1)构造积为定值，利用基本不等式求最值； (2)构造和为定值，利用基本不等式求最值． 提醒：利用基本不等式求最值，千万不要忽视等号成立的条件． 1．a＋1≥2(a>0)中等号成立的条件是________． [解析]　等号成立的条件是两项相等，即a＝1. [答案]　a＝1 2．函数f(x