2017年高考备考“最后30天”大冲刺 数学 专题十 函数与导数（文） （2份打包）

0 专题十：函数与导数 例 题 已知函数f(x)＝aex＋x2，g(x)＝sin＋bx，直线l与曲线y＝f(x)切于点(0，f(0))，且与曲线y＝g(x)切于点(1，g(1))． （1）求a，b的值和直线l的方程； （2）证明：f(x)>g(x)． 【解析】（1）解：f′(x)＝aex＋2x，g′(x)＝cos＋b， f(0)＝a，f′(0)＝a，g(1)＝1＋b，g′(1)＝b， 曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝ax＋a， 曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝b(x－1)＋1＋b，即y＝bx＋1． 依题意，有a＝b＝1，直线l的方程为y＝x＋1． （2）证明：由（1）知f(x)＝ex＋x2，g(x)＝sin＋x． 设F(x)＝f(x)－(x＋1)＝ex＋x2－x－1，[来源:Zxxk.Com] 则F′(x)＝ex＋2x－1， 当x∈(－∞，0)时，F′(x)<F′(0)＝0； 当x∈(0，＋∞)时，F′(x)>F′(0)＝0． 所以F(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故F(x)≥F(0)＝0． 设G(x)＝x＋1－g(x)＝1－sin，[来源:学科网] 则G(x)≥0，当且仅当x＝4k＋1(k∈Z)时等号成立． 由上可知，f(x)≥x＋1≥g(x)，且两个等号不同时成立，因此f(x)>g(x)． 【答案】（1）a＝b＝1，直线l的方程为y＝x＋1；（2）见解析． 基础回归 解析几何是高考中重要的题型之一，比重很大，灵活新颖，题型覆盖选择题，填空题，解答题．直接与函数导数有关的题型约占30分，间接与函数导数有关的题型约占80分．重要考查的知识点有指、对数函数，幂函数，二次函数，函数性质，导数的应用等．函数的教学贯穿整个高中，主要位于必修1，选修1-1． 规范训练 综合题（48分/60min） 1．（12分/15min）已知函数f(x)＝bx－axln x(a>0)的图象在点(1，f(1))处的切线与直线y＝(1－a)x平行． （1）若函数y＝f(x)在[e，2e]上是减函数，求实数a的最小值； （2）设g(x)＝，若存在x1∈[e，e2]，使g(x1)≤成立，求实数a的取值范围． 【解析】∵f′(x)＝b－a－aln x，[来源:学*科*网] ∴f′(1)＝b－a，∴b－a＝1－a，∴b＝1． 则f(x)＝x－axln x． （1）∵y＝f(x)在[e，2e]上为减函数， ∴f′(x)＝1－a－aln x≤0在[e，2e]上恒成立， 即a≥在[e，2e]上恒成立． ∵函数h(x)＝在[e，2e]上递减， ∴h(x)的最大值为，∴实数a的最小值为． （2）∵g(x)＝＝－ax， ∴g′(x)＝－a＝－2＋－a＝－2＋－a， 故当＝，即x＝e2时，g′(x)max＝－a． 若存在x1∈[e，e2]，使g(x1)≤成立， 等价于当x∈[e，e2]时，有g(x)min≤． 当a≥时，g(x)在[e，e2]上为减函数， ∴g(x)min＝g(e2)＝－ae2≤，故a≥－． 当0<a<时，由于g′(x)＝－2＋－a在[e，e2]上为增函数， 故g′(x)的值域为．[来源:Zxxk.Com] 由g′(x)的单调性和值域知， 存在唯一x0∈(e，e2)，使g′(x)＝0，且满足： 当x∈[e，x0)时，g′(x)<0，g(x)为减函数； 当x∈(x0，e2]时，g′(x)>0，g(x)为增函数． 所以g(x)min＝g(x0)＝－ax0≤，x0∈(e，e2)． 所以a≥－≥－>－＝，与0<a<矛盾，不合题意． 综上，实数a的取值范围为． 【答案】（1）；（2）． 满分规范 1.时间：你是否在限定时间内完成？ □是 □否 2.步骤：答题步骤是否与标答一致？ □是 □否 3.语言：答题学科用语是否精准规范？□是 □否 4.书写：字迹是否工整？卷面是否整洁？□是 □否 5.得分点：答题得分点是否全面无误？□是 □否 6.教材：教材知识是否全面掌握？ □是 □否 2．（12分/15min）已知函数f(x)＝(x＋1)ln x－a(x－1)． （1）当a＝4时，求曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程； （2）若当x∈(1，＋∞)时，f(x)>0，求a的取值范围． 【解析】（1）f(x)的定义域为(0，＋∞)． 当a＝4时，f(x)＝(x＋1)ln x－4(x－1)，f′(x)＝ln x＋－3， f′(1)＝－2，f(1)＝0． 曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为2x＋y－2＝0． （2）当x∈(1，＋∞)时，f(x)>0等价于ln x－>0． 设g(x)＝ln x－， 则g′(x)＝－＝，g(1)＝0．