3.1.1 函数的概念 归纳练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦函数概念核心素养，通过基础理解、技能应用、综合拓展三层设计，实现从概念辨析到实际应用的知识巩固路径，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础理解|函数关系判断、求函数值、具体函数定义域|图像辨析与简单函数值计算，发展数学眼光| |技能应用|抽象函数定义域、区间表示、函数值域|抽象定义域与区间转换，培养数学思维| |综合拓展|实际问题定义域、值域参数问题|实际问题建模与参数求解，提升数学语言表达|

3.1.1 函数的概念 重点知识点 归纳练 2026-2027学年 上学期高中数学人教A版必修第一册 一、函数关系的判断 1．下列图象中，能表示函数图象的是（    ）    A．①② B．②③ C．②④ D．①③ 2．下列变化过程中，变量之间存在怎样的依赖关系？其中哪些是函数关系？ (1)地球绕太阳公转的过程中，二者间的距离与时间的关系； (2)在空中做斜抛运动的铅球，铅球距地面的高度与时间的关系； (3)某超市一天的销售额与客流量之间的关系； (4)某十字路口，通过汽车的数量与时间的关系； (5)往烧杯中注水，杯中水的体积与注水时间的关系； (6)抛掷一枚均匀硬币的次数与硬币正面朝上的次数之间的关系． 二、求函数值 3．已知函数，且，则（   ） A． B．3 C． D．17 4．若函数和分别由下表给出： 1 2 3 4 2 3 4 1 1 2 3 4 2 1 4 3 满足的值是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 5．已知函数， (1)当时，求的值； (2)当时，求x的值． 三、具体函数的定义域 6．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 7．求下列函数的定义域． (1)； (2)； (3)； (4)． 四、抽象函数的定义域 8．已知函数的定义域为，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 9．（1）已知函数f(x)的定义域为[2，3]，求函数f(2x-3)的定义域； （2）已知函数f(2x-3)的定义域为[1，2]，求函数f(x)的定义域． 五、已知函数的定义域求参数 10．若函数的定义域为，则实数的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 11．若函数的定义域为，则实数取值范围是______. 六、实际问题的定义域 12．一枚炮弹发射后，经过落到地面击中目标．炮弹的射高为，且炮弹距地面的高度（单位：）与时间（单位：）的关系为．该函数定义域为（    ） A． B． C． D． 13．如图，某小区有一块底边和高均为40m的锐角三角形空地，现规划在空地内种植一边长为x（单位：m）的矩形草坪（阴影部分），要求草坪面积不小于，则x的取值范围为______. 七、区间 14．下列叙述正确的是（　　） A．用区间可表示为 B．用区间可表示为 C．用集合可表示为 D．用集合可表示为 15．已知区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 16．用区间表示下列数集. (1)； (2)； (3)； (4)； (5)或. 八、函数的值域 17．函数. （1）若，则的值域是______； （2）若，则的值域为______. 18．求下列函数的值域： (1)； (2)． 19．求下列函数的值域: (1)， (2)， (3)， (4) 20．求函数的值域． 九、根据函数的值域求定义域 21．已知函数的值域为，则的定义域可能为（    ） A． B． C． D． 22．已知函数的值域是，则它的定义域可能是______． 十、根据函数的值域求参 23．若函数的值域为，则实数m的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 24．已知，若函数的值域为，则的取值范围是______． 参考答案 题号 1 3 4 6 8 10 12 14 15 21 答案 D B B D D C C D A BCD 题号 23 答案 B 1．D 根据函数的定义判断可得出结论. 解：∵一个只能对应一个，∴①③符合题意， 对于②中，当时，一个对应两个，不符合函数的定义； 对于④中，当时，一个对应两个，不符合函数的定义. 故选：D． 2．(1) 地球绕太阳公转，二者的距离与时间存在函数关系， 其中时间时自变量，距离是因变量 (2) 在空中做斜抛运动的铅球，铅球距地面的高度与时间存在函数关系， 其中时间为自变量，高度是因变量 (3) 某超市一天的销售额与客流量之间存在函数关系， 其中客流量是自变量，销售额是因变量 (4) 某十字路口，通过汽车的数量与时间存在函数关系， 其中时间是自变量，通过汽车的数量是因变量 (5) 往烧杯中注水，杯中水的体积与注水时间存在函数关系， 其中时间是自变量，杯中水的体积是因变量 (6) 抛掷一枚均匀硬币的次数与硬币正面朝上的次数之间不存在函数关系. 根据函数的定义逐一判断即可. （1）略 （2）略 （3）略 （4）略 （5）略 （6）略 3．B 根据给定条件，利用赋值法代入计算得解. 函数，令，则，而， 所以. 故选：B 4．B 从外到内逐步求值． 根据题意，， 则，所以. 故选：B 5．(1) (2)2 （1）直接代入计算函数值即可； （2）由函数值建立方程计算即可. （1）将代入解析式有：； （2）由题意可知 即． 6．D 根据偶次根式的被开方数大于等于0，分母不等于0求解即可. 由题知，解得， 所以函数的定义域是. 故选：D. 7．(1) (2) (3) (4) （1）（2）（3）（4）根据函数解析式有意义列不等式组求解即可. （1）由题意，知，解得且且， ∴其定义域为． （2）由题意，知解得，∴其定义域为． （3）依题意，知，解得，且， ∴其定义域为． （4）由题意，知，解得，且，且， ∴其定义域为． 8．D 根据函数的定义域求出中的范围，结合分母不为，求出函数的定义域即可． 由题意得，解得， 又，解得， 故函数的定义域是 ． 故选：D． 9．（1）；（2）[-1，1]． (1)根据复合函数的意义列出不等式组，求解即得； (2)根据复合函数的意义求出函数2x-3在区间[1，2]上的值域即可. （1）因为函数f(x)的定义域为[2，3]，则在函数f(2x-3)中，有2≤2x-3≤3，解得， 所以函数f(2x-3)的定义域为； （2）因为函数f(2x-3)的定义域为[1，2]，即1≤x≤2，则2x∈[2，4]，2x-3∈[-1，1]， 所以f(x)的定义域为[-1，1]. 10．C 根据函数定义域为的条件，结合二次函数性质来确定实数的取值范围． 由题意可知，关于的方程无解，此时进行分类讨论． ①当，即时，不成立，分母不为零，所以符合题意； ②当，即时，应满足，解得． 综上，实数的取值范围为． 故选：C． 11． 根据题意知恒成立，再求解即可. 函数的定义域为，则恒成立， 当时显然不成立； 当时，则恒成立， 当时，，解得. 综上所述：实数取值范围是. 故答案为：. 12．C 根据实际意义分析即可. 由题意可知，炮弹发射后共飞行了， 所以，即函数的定义域为. 故选：C 13． 由三角形相似得，再根据面积不小于，即可求得x的取值范围. 设矩形另一边的长为m， 由三角形相似得：，（）, 所以, 所以矩形草坪的面积， 解得：. 故答案为： 14．D 根据区间的概念逐项判断即可． 对于选项A，用区间可表示为，故A错误； 对于选项B，用区间可表示为，故B错误； 对于选项C，用集合可表示为，故C错误； 对于选项D，用集合可表示为，故D正确． 故选：D． 15．A 根据区间的定义，即可列式求解. 根据区间的定义，可知，得. 故选：A 16．(1) (2) (3) (4) (5) 根据集合与区间的关系求得正确答案. （1）集合为，对应区间为. （2）集合为，对应区间为. （3）集合为，对应区间为. （4）集合为，对应区间为. （5）集合为或，对应区间为. 17． （1）计算出、、、的值，即可得出函数的值域； （2）利用一次函数的基本性质可求得函数的值域. （1）因为，，则，，，， 故当时，函数的值域为； （2）当时，， 故当时，函数的值域为. 故答案为：（1）；（2）. 18．(1) (2)． （1）求出所有函数值即可得值域； （2）根据二次函数的性质即可得值域. （1）因为 所以， 所以的值域为； （2）因为， 所以的值域为. 19．(1) (2) (3) (4) （1）整理得，进而可得结果； （2）利用基本不等式运算求解； （3）整理得，结合二次函数运算求解； （4）换元设，结合二次函数运算求解. （1）由题意可得：， 因为，则， 所以原函数的值域为. （2）因为， 则，当且仅当，即时，等号成立， 所以原函数的值域为. （3）令，解得， 可得函数的定义域为， 因为，可得 所以原函数的值域为. （4）设，则， 所以原函数转化为， 因为函数的图象开口向下，对称轴方程为， 可知当时，函数取到最大值， 所以原函数的值域为. 20．． 根据给定条件，利用绝对值的三角不等式列式求出值域. 函数的定义域为R， 由，当且仅当时取等号， 因此， 所以函数的值域是. 21．BCD 根据函数的值域为结合二次函数的对称性可求出相应的定义域， 令，解得， 令，解得， 根据的图象关于轴对称的性质， 可得的定义域可能为，或，故B、C、D正确. 故选：BCD. 22．（答案不唯一） 根据题意，由二次函数的性质，代入计算，即可得到结果. 令，解得；令，解得； 由二次函数的图像与性质可得，若要使函数的值域是， 则它的定义域是可能是． 故答案为：（答案不唯一）． 23．B 根据题意由二次函数值域利用判别式即可求得实数m的取值范围. 因为函数的值域为， 所以能取遍所有大于或等于零的实数， 即方程在实数范围内有解． 所以，解得． 故选：B． 24． 根据给定条件，求出函数值域包含的范围即可. 由函数的值域为，得函数值域包含， 则，解得， 所以的取值范围是. 故答案为： 学科网（北京）股份有限公司 $