2.6.2 双曲线的几何性质（分层作业练题型）数学人教B版高二选择性必修第一册

**基本信息** 分层设计清晰，从基础巩固到思维拔高，覆盖双曲线几何性质、标准方程、离心率等核心知识点，通过不同难度题组实现知识从单一到综合的进阶，适配新授课差异化教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组巩固过关|双曲线几何性质（焦点、离心率、渐近线）、标准方程求解|基础题型，直接应用定义公式，如已知渐近线求参数，培养运算能力| |B组能力进阶|离心率与渐近线斜率、直线位置关系综合|中档题，结合直线垂直等知识，发展推理意识| |C组思维拔高|焦点三角形、圆与渐近线相切、弦长问题等综合应用|复杂情境题，如正三角形焦点问题，提升几何直观与创新意识|

分层作业 2.6.2　双曲线的几何性质 目 录 A组 巩固过关 题型01双曲线的几何性质 题型02 由双曲线的几何性质求标准方程 题型03 双曲线的离心率问题 B组 能力进阶 C组 思维拔高 双曲线的几何性质题型01 1．（25-26高二下·湖北随州·期末）已知椭圆和双曲线的焦点相同，则（    ） A． B． C．3 D．5 2．（25-26高二下·陕西安康·期末）已知双曲线：的离心率为，则的焦距为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·陕西汉中·期末）若双曲线的渐近线方程为，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 由双曲线的几何性质求标准方程题型02 4．（25-26高二下·贵州黔南·期末）已知双曲线C：的渐近线方程为，则的值为（    ） A． B． C．5 D．25 5．（25-26高二下·河北邯郸·期末）已知，若，则点C的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·安徽滁州·期末）已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则的值为（    ） A． B． C． D． 双曲线的离心率问题题型03 7．（25-26高二下·湖南郴州·期末）若双曲线的一个焦点到两条渐近线的距离之和为，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二下·湖南·期末）已知焦点在轴上的双曲线的渐近线方程是，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高二下·广西梧州·期末）若两双曲线中心均为坐标原点，焦点分别在轴和轴且具有相同的渐近线，则称两双曲线为共轭双曲线，已知双曲线，为共轭双曲线，离心率分别为和，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 1．（25-26高二下·云南德宏·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，则其离心率为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·河南新乡·期末）已知双曲线的两个焦点分别为，点在上，则的离心率为（   ） A． B．3 C．2 D． 3．（25-26高二下·广西南宁·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·安徽安庆·期末）已知双曲线：，则双曲线的离心率为（　　） A． B．5 C． D． 5．（2026·陕西西安·模拟预测）设直线与双曲线C：的一条渐近线平行，则的离心率为（   ） A． B． C．3 D．5 6．（25-26高三上·江西南昌·期末）若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则的离心率为（    ） A． B． C．5 D． 7．（25-26高三上·贵州黔南·期末）已知双曲线（，）的一条渐近线的斜率为，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D．3 8．（25-26高二上·陕西西安·期末）已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则（    ） A．3 B．6 C．12 D．36 试卷第1页（共3页） 试卷第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 1．（25-26高二下·安徽宿州·期末）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·安徽马鞍山·期末）已知双曲线上一点到两条渐近线的距离之积等于，则（   ） A．3 B．2 C． D． 3．（25-26高二下·江西·期末）已知双曲线：的渐近线与圆：相切，则的离心率为（   ） A．2 B． C． D． 4．（25-26高二下·安徽宣城·期末）已知，分别是双曲线C：（，）的左、右焦点，点是双曲线上在第一象限内的一点，若，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·云南楚雄·期末）已知是双曲线的左、右焦点，过左焦点的直线与双曲线的右支交于点，与轴交于点，若是正三角形，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·山东东营·期末）已知双曲线的一条渐近线被圆截得的弦长为，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 7．（2026·湖北襄阳·模拟预测）已知圆与双曲线（，）的渐近线相切，则双曲线的离心率（     ） A． B． C． D． 8．（25-26高二下·上海闵行·期末）已知点、，动点在曲线：上，则的面积（     ） A．有最大值，没有最小值 B．没有最大值，有最小值 C．有最大值，也有最小值 D．没有最大值，也没有最小值 9．（2026·福建泉州·模拟预测）已知双曲线的两渐近线的夹角为，且实轴长小于虚轴长，则的虚轴长与焦距之比等于（    ） A． B． C． D． 10．（2026·江苏淮安·模拟预测）已知双曲线离心率为2，左焦点为，右顶点为，以为直径的圆交双曲线的一条渐近线于两点，则（   ） A． B． C． D． 11．（2026·安徽合肥·三模）已知双曲线的左、右焦点分别为，离心率为，过的直线与C的右支交于A，B两点．若，则的值为（   ） A． B．3 C． D．2 12．（2026·云南昭通·二模）已知双曲线的渐近线与以为圆心，面积为的圆相切，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 试卷第1页（共3页） 试卷第6页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 7 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 2.6.2双曲线的几何性质 A组 巩固过关 题型01 双曲线的几何性质 【答案】C : 【答案】B 3. 【答案】A 颗型02 由双曲线的几何性质求标准方程 4. 【答案】C 5. 【答案】D 6 【答案】C 颗型03 双曲线的离心率问题 7. 【答案】D 8. 【答案】D 9 【答案】A 1/2 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B组 能力进阶 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D A D B B B D C组 思维拔高 题号 1 2 3 5 6 7 8 9 10 答案 E D D C B c A A C 题号 11 12 答案 B C 212 分层作业 2.6.2　双曲线的几何性质 目 录 A组 巩固过关 题型01双曲线的几何性质 题型02 由双曲线的几何性质求标准方程 题型03 双曲线的离心率问题 B组 能力进阶 C组 思维拔高 双曲线的几何性质题型01 1．（25-26高二下·湖北随州·期末）已知椭圆和双曲线的焦点相同，则（    ） A． B． C．3 D．5 【答案】C 【详解】由题可知，所以. 2．（25-26高二下·陕西安康·期末）已知双曲线：的离心率为，则的焦距为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知双曲线：，则或. 当焦点在轴上时：此时，实半轴平方，虚半轴平方， 半焦距平方，离心率， 已知，则，与冲突，故不成立； 当焦点在轴上时：此时，此时方程可化为， 实半轴平方，虚半轴平方， 半焦距平方， 离心率， 满足，故半焦距，则焦距为，B正确. 3．（25-26高二下·陕西汉中·期末）若双曲线的渐近线方程为，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【详解】双曲线（焦点在轴上）的渐近线方程为， 由题中方程，得，即， 所以，解得． 由双曲线的几何性质求标准方程题型02 4．（25-26高二下·贵州黔南·期末）已知双曲线C：的渐近线方程为，则的值为（    ） A． B． C．5 D．25 【答案】C 【详解】因为双曲线C：的渐近线方程为， 所以，解得. 5．（25-26高二下·河北邯郸·期末）已知，若，则点C的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由及双曲线的定义可知点C的轨迹是双曲线的左支， 设其标准方程为， 所以，解得， 所以点C的轨迹方程为． 6．（25-26高二下·安徽滁州·期末）已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】双曲线的渐近线方程为， 依题意，，所以. 双曲线的离心率问题题型03 7．（25-26高二下·湖南郴州·期末）若双曲线的一个焦点到两条渐近线的距离之和为，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】渐近线为，焦点为，其中， 则焦点到渐近线的距离为，则， 故该双曲线的离心率为. 8．（25-26高二下·湖南·期末）已知焦点在轴上的双曲线的渐近线方程是，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵ 焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为， 因焦点在轴上的双曲线渐近线为（其中为实半轴长，为虚半轴长）， 则 ，即，则， ∴ 双曲线的离心率. 9．（25-26高二下·广西梧州·期末）若两双曲线中心均为坐标原点，焦点分别在轴和轴且具有相同的渐近线，则称两双曲线为共轭双曲线，已知双曲线，为共轭双曲线，离心率分别为和，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先写出共轭双曲线的标准方程，分别表示出两者的离心率平方，再结合基本不等式求乘积的最小值. 【详解】设焦点在x轴上的双曲线的标准方程为（）， 由共轭双曲线的定义，其共轭双曲线的标准方程为， 对，半焦距，离心率，故； 对，半焦距，离心率，故； 则， 由基本不等式，，当且仅当即时等号成立， 因此， 又，故， 即的最小值为2. 1．（25-26高二下·云南德宏·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，则其离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由渐近线方程可得等量关系，据此可得答案. 【详解】因双曲线的一条渐近线方程为，则. 2．（25-26高二下·河南新乡·期末）已知双曲线的两个焦点分别为，点在上，则的离心率为（   ） A． B．3 C．2 D． 【答案】D 【分析】根据两点之间距离公式分别求得，由双曲线定义得出，由离心率公式即可求解． 【详解】由题意，设， 则，，， 所以，则离心率． 3．（25-26高二下·广西南宁·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】双曲线的渐近线方程为， 而双曲线的一条渐近线方程为，则， 所以双曲线的离心率为. 4．（25-26高二下·安徽安庆·期末）已知双曲线：，则双曲线的离心率为（　　） A． B．5 C． D． 【答案】D 【分析】使用双曲线的离心率计算公式求解. 【详解】由题意知，双曲线的离心率为：. 5．（2026·陕西西安·模拟预测）设直线与双曲线C：的一条渐近线平行，则的离心率为（   ） A． B． C．3 D．5 【答案】B 【详解】由题意可知双曲线的渐近线方程为， 直线与双曲线的一条渐近线平行， 则，又，则 所以的离心率为． 6．（25-26高三上·江西南昌·期末）若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则的离心率为（    ） A． B． C．5 D． 【答案】B 【分析】根据题意得，再结合离心率公式求解即可. 【详解】由题知，双曲线的焦点在轴上，渐近线方程为， 因为直线的斜率为，且与渐近线垂直， 所以，，即， 所以双曲线的离心率. 7．（25-26高三上·贵州黔南·期末）已知双曲线（，）的一条渐近线的斜率为，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【详解】由双曲线（，）得双曲线的渐近线方程为. ，所以离心率. 8．（25-26高二上·陕西西安·期末）已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则（    ） A．3 B．6 C．12 D．36 【答案】D 【详解】由题可知双曲线方程中，， 该双曲线的渐近线方程为， 因为直线的斜率为，且双曲线一条渐近线与直线垂直， 所以，解得. 故选：D. 1．（25-26高二下·安徽宿州·期末）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据条件得到圆的方程以及渐近线方程，联立求出点的坐标，根据勾股定理和，建立关于的方程，进而求出离心率． 【详解】如图所示，以为直径的圆的方程为（其中）， 不妨设圆和渐近线的交点在第一象限， 联立，解得. 由直径所对圆周角为直角，可知，故是直角三角形. 由，可得， 即， 整理得， 所以，解得.    2．（25-26高二下·安徽马鞍山·期末）已知双曲线上一点到两条渐近线的距离之积等于，则（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】利用点到直线的距离公式求出距离，再根据距离之积为，结合点在曲线上，化简求值即可. 【详解】由题可知：，渐近线方程为，即， 设在双曲线上，则，即， 根据点到直线的距离公式，到两条渐近线的距离分别为，， 因为点到两条渐近线的距离之积等于，所以， 又，所以，解得，又，所以. 3．（25-26高二下·江西·期末）已知双曲线：的渐近线与圆：相切，则的离心率为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【详解】双曲线的渐近线方程为，即， 由渐近线与相切，得，所以， 所以的离心率. 4．（25-26高二下·安徽宣城·期末）已知，分别是双曲线C：（，）的左、右焦点，点是双曲线上在第一象限内的一点，若，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正弦定理得，再由双曲线的定义得，最后由余弦定理即可求解. 【详解】由正弦定理得：，结合， 所以， 又由，所以， 由余弦定理得：， 所以，所以， 所以. 5．（25-26高二下·云南楚雄·期末）已知是双曲线的左、右焦点，过左焦点的直线与双曲线的右支交于点，与轴交于点，若是正三角形，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由条件结合对称性可得，，解直角三角形可得，，结合双曲线的定义求结论. 【详解】∵为等边三角形，∴，即， 由对称性可得，所以，又， 所以，结合，， 可得，，又， 所以，化简可得， 所以双曲线的离心率为. 6．（25-26高二下·山东东营·期末）已知双曲线的一条渐近线被圆截得的弦长为，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据弦长和半径求出弦心距，利用点到直线的距离公式得到的关系式，从而求离心率. 【详解】双曲线渐近线，即， 因为渐近线被圆所截得的弦长为， 则圆心到渐近线的距离，解得， 则双曲线方程为，故，，则， 故双曲线C的离心率为. 7．（2026·湖北襄阳·模拟预测）已知圆与双曲线（，）的渐近线相切，则双曲线的离心率（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由双曲线方程得其一条渐近线的方程，由圆得圆心、半径，利用直线与圆相切列方程即可得． 【详解】由双曲线，可得其一条渐近线的方程为，， 由圆，得，则圆心为，半径， 则圆心到直线的距离为，则，可得. 8．（25-26高二下·上海闵行·期末）已知点、，动点在曲线：上，则的面积（     ） A．有最大值，没有最小值 B．没有最大值，有最小值 C．有最大值，也有最小值 D．没有最大值，也没有最小值 【答案】A 【分析】根据题意可求得和直线的方程，结合双曲线的渐近线分析点到直线的距离的取值范围，进而可得的面积的取值范围. 【详解】因为，， 则，直线的斜率， 所以直线的方程为，即， 双曲线的渐近线方程为， 则直线与渐近线平行，两平行线间距离， 曲线：过点， 过点与直线平行的直线方程为， 两平行线间距离， 结合图形可知点到直线的距离， 则的面积， 所以的面积有最大值，但没有最小值. 9．（2026·福建泉州·模拟预测）已知双曲线的两渐近线的夹角为，且实轴长小于虚轴长，则的虚轴长与焦距之比等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设双曲线的标准方程为（）， 则它的渐近线方程为， 已知实轴长小于虚轴长，即，所以 因为渐近线的夹角为，所以渐近线的倾斜角为和， 所以，即， 由，代入， 得 ，即， 虚轴长为，焦距为， 所以虚轴长与焦距之比为. 故选项C正确. 10．（2026·江苏淮安·模拟预测）已知双曲线离心率为2，左焦点为，右顶点为，以为直径的圆交双曲线的一条渐近线于两点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可知，及渐近线方程，再计算出圆心到其中一条渐近线的距离，从而得到弦长，最后利用余弦定理求解. 【详解】由题可知，则，渐近线方程. ,则，圆的半径. 圆心到一条渐近线的距离：， 则， 在中，由余弦定理可得： 11．（2026·安徽合肥·三模）已知双曲线的左、右焦点分别为，离心率为，过的直线与C的右支交于A，B两点．若，则的值为（   ） A． B．3 C． D．2 【答案】B 【分析】根据双曲线的定义，在直角三角形中利用勾股定理计算即可求解. 【详解】因为双曲线的离心率为，不妨设，则， 设，，则，， 在中，由勾股定理可得，解得， 则， 同理，在中，由勾股定理可得，解得， 所以. 12．（2026·云南昭通·二模）已知双曲线的渐近线与以为圆心，面积为的圆相切，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意，根据双曲线的渐近线公式与直线与圆的位置关系，可列方程，可得答案. 【详解】双曲线的渐近线方程为， 因为圆的圆心为，面积为，设圆的半径为， 则，故， 由渐近线与圆相切，则圆心到直线的距离，即， 所以双曲线的离心率为 13 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $