2017年高考备考“最后30天”大冲刺 数学 专题九 圆锥曲线（理） （2份打包）

0 专题九：圆锥曲线 例 题 如图，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，右顶点、上顶点分别为点A，B，且|AB|＝|BF|． （1）求椭圆C的离心率； （2）若点M在椭圆C内部，过点M的直线l交椭圆C于P，Q两点，M为线段PQ的中点，且OP⊥OQ．求直线l的方程及椭圆C的方程． 【解析】（1）由已知|AB|＝|BF|， 即＝a，∴4a2＋4b2＝5a2， ∴4a2＋4(a2－c2)＝5a2，∴e＝＝． （2）由（1）知a2＝4b2，∴椭圆C：＋＝1． 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 由＋＝1，＋＝1，可得＋＝0， 即＋＝0， 即＋(y1－y2)＝0，从而kPQ＝＝2， 所以直线l的方程为y－＝2， 即2x－y＋2＝0． 由⇒x2＋4(2x＋2)2－4b2＝0， 即17x2＋32x＋16－4b2＝0． Δ＝322＋16×17(b2－4)>0⇔b>， x1＋x2＝－，x1x2＝． ∵OP⊥OQ，∴·＝0，即x1x2＋y1y2＝0， ∴x1x2＋(2x1＋2)(2x2＋2)＝0， 即5x1x2＋4(x1＋x2)＋4＝0， 从而－＋4＝0，解得b＝1， ∴椭圆C的方程为＋y2＝1． 【答案】（1）；（2）2x－y＋2＝0，＋y2＝1． 基础回归 解析几何是高考中必考的一个题型之一，并且分值占卷面的15%左右，多数是22分，常考两个客观题和一个主观题，客观题以考查基础为主，主要考查直线、圆、圆锥曲线和参数方程的基础知识．解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点，往往是有一定难度的综合题．解析几何主要位于必修2中解析几何初步和选修2-1中圆锥曲线． 规范训练 综合题（48分/60min） 1．（12分/15min）已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆与直线2x－y＋6＝0相切． （1）求椭圆C的标准方程； （2）已知点A，B为动直线y＝k(x－2)(k≠0)与椭圆C的两个交点．问：在x轴上是否存在定点E，使得2＋·为定值？若存在，试求出点E的坐标和定值；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）由e＝得＝，即c＝a．① 又以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆为x2＋y2＝a2， 且与直线2x－y＋6＝0相切， 所以a＝＝，代入①得c＝2． 所以b2＝a2－c2＝2． 所以椭圆C的标准方程为＋＝1． （2）由得(1＋3k2)x2－12k2x＋12k2－6＝0． 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 所以x1＋x2＝，x1x2＝． 根据题意，假设x轴上存在定点E(m，0)， 使得2＋·＝(＋)·＝·为定值， 则·＝(x1－m，y1)·(x2－m，y2)＝(x1－m)(x2－m)＋y1y2 ＝(k2＋1)x1x2－(2k2＋m)(x1＋x2)＋(4k2＋m2)＝． 要使上式为定值，即与k无关，则3m2－12m＋10＝3(m2－6)， 得m＝． 此时，2＋·＝m2－6＝－，所以在x轴上存在定点E，使得2＋·为定值，且定值为－． 【答案】（1）＋＝1；（2）－． 满分规范 1.时间：你是否在限定时间内完成？ □是 □否 2.步骤：答题步骤是否与标答一致？ □是 □否 3.语言：答题学科用语是否精准规范？□是 □否 4.书写：字迹是否工整？卷面是否整洁？□是 □否 5.得分点：答题得分点是否全面无误？□是 □否 6.教材：教材知识是否全面掌握？ □是 □否 2．（12分/15min）已知中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为的椭圆过点． （1）求椭圆的方程； （2）设不过原点O的直线l与该椭圆交于P，Q两点，满足直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求△OPQ面积的取值范围．[来源:Z+xx+k.Com] 【解析】（1）由题意可设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，则＝(其中c2＝a2－b2，c>0)，且＋＝1，故a＝2，b＝1． 所以椭圆的方程为＋y2＝1． （2）由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，故可设直线l：y＝kx＋m(m≠0)． 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，[来源:Zxxk.Com] 由消去y得：(1＋4k2)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0， 则Δ＝64k2m2－16(1＋4k2)(m2－1)＝16(4k2－m2＋1)>0， 且x1＋x2＝－，x1x2＝， 故y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2， 因为直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列， 所以·＝＝k2， 即－＋m2＝0． 又m≠0，所以k2＝，即k＝±． 由于直线OP，OQ的斜率存在，且Δ>0， 得0<m2<2，且m2≠1， 设d为点O到直线l的距离，则d＝， |PQ|＝＝， 所以S＝|PQ|d＝<＝