2017年高考备考“最后30天”大冲刺 数学 专题八 立体几何（理） （2份打包）

0 专题八：立体几何 例 题 在如图所示的四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA⊥CD，BC⊥平面PAB，且E，M，N分别为PD，CD，AD的中点，＝3． （1）证明：PB∥平面FMN； （2）若PA＝AB，求二面角E－AC－B的余弦值． 【解析】（1）证明：连接BD，分别交AC，MN于点O，G，连接EO，FG．[来源:学科网ZXXK] ∵O为BD中点，E为PD中点，∴EO∥PB． 又＝3， ∴F为ED中点． 又CM＝MD，AN＝DN， ∴G为OD的中点， ∴FG∥EO，∴PB∥FG． ∵FG⊂平面FMN，PB⊄平面FMN， ∴PB∥平面FMN． （2）解：∵BC⊥平面PAB，∴BC⊥PA， 又PA⊥CD，BC∩CD＝C， ∴PA⊥平面ABCD． 如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系． 设PA＝AB＝2，可知A(0，0，0)，C(2，2，0)，B(2，0，0)，E(0，1，1)， 则＝(2，2，0)，＝(0，1，1)． ∵PA⊥平面ABCD， ∴平面ABC的一个法向量n0＝(0，0，1)． 设平面AEC的法向量为n＝(x，y，z)， 则即 令x＝1，则y＝－1，z＝1，∴n＝(1，－1，1)． ∴cos〈n0，n〉＝＝． 由图可知，二面角E－AC－B为钝角， ∴二面角E－AC－B的余弦值为－． 【答案】（1）见解析；（2）－． 基础回归 立体几何是高考中必考的题型之一，并且分值占卷面的12%左右，多数是22分，常考两个客观题和一个主观题，对学生的空间想象能力和运算推理能力要求较高，考点主要集中在空间几何体的三视图，空间几何体的表面积与体积，证明直线、平面的平行与垂直关系，求角．立体几何主要位于必修2中立体几何初步和选修2-1中空间向量． 规范训练 综合题（48分/60min） 1．（12分/15min）如图，在四棱锥P－ABCD中，△ABD是边长为2的正三角形，PC⊥底面ABCD，AB⊥BP，BC＝． （1）求证：PA⊥BD； （2）若PC＝BC，求二面角A－BP－D的正弦值． 【解析】（1）证明：连接AC交BD于O． ∵PC⊥底面ABCD，∴PC⊥AB． ∵AB⊥BP，BP∩CP＝P， ∴AB⊥平面PBC，则AB⊥BC． ∵BC＝，∴tan ∠BAC＝，即∠BAC＝30°． ∵∠ABD＝60°，∴∠AOB＝90°，即AC⊥BD． ∵PC⊥BD，∴BD⊥平面ACP， ∴PA⊥BD． （2）解：由(1)知O是BD的中点，过O作OF∥PC交AP于F，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， [来源:学科网] 则A(，0，0)，B(0，1，0)，D(0，－1，0)，C，P， 则＝(0，2，0)，＝， 设平面PBD的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则即 令z＝1，则x＝2，∴n＝(2，0，1)． 取PB的中点E，连接CE． ∵PC＝BC，∴CE⊥PB，则CE⊥平面ABP， ∴向量＝是平面ABP的一个法向量， ∴cos〈n，〉＝＝＝， ∴二面角A－BP－D的正弦值为． 【答案】（1）见解析，（2）． 满分规范 1.时间：你是否在限定时间内完成？ □是 □否 2.步骤：答题步骤是否与标答一致？ □是 □否 3.语言：答题学科用语是否精准规范？□是 □否 4.书写：字迹是否工整？卷面是否整洁？□是 □否 5.得分点：答题得分点是否全面无误？□是 □否 6.教材：教材知识是否全面掌握？ □是 □否 2．（12分/15min）如图，四棱锥P－ABCD，侧面PAD是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是∠ABC＝60°的菱形，M是棱PC上的动点，且＝λ(λ∈[0，1])． （1）求证：BC⊥PC； （2）试确定λ的值，使得二面角P－AD－M的平面角的余弦值为． 【解析】（1）证明：取AD中点O，连接OP，OC， ∵侧面PAD是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是∠ABC＝60°的菱形， ∴△ADC是等边三角形，PO，AD，CO两两垂直， 以O为原点，OC所在直线为x轴，OD所在直线为y轴，OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系， 由题意得P(0，0，)，C(，0，0)，B(，－2，0)， ＝(0，2，0)，＝(，0，－)， ∴·＝0，∴BC⊥PC．[来源:学科网ZXXK] （2）解：由＝λ可得点M的坐标为(λ，0，－λ)， ∴＝(λ，1，－λ)，＝(λ，－1，－λ)， 设平面AMD的法向量n＝(x，y，z)， 则 令z＝λ，得n＝(λ－1，0，λ)． 由题意得，平面PAD的法向量m＝(1，0，0)． ∵二面角P－AD－M的平面角的余弦值为， ∴|cos〈m，n〉|＝＝， 由λ∈[0，1]，解得λ