精品解析：【全国市级联考】湖南省衡阳市2017届高三下学期第二次联考数学（理）试题解析

湖南省衡阳市2017届高三下学期第二次联考 数学（理）试题 第Ⅰ卷（共60分） 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数（为虚数单位），则（ ） A. B. 1 C. D. 2. 已知集合，，则有（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示，某空间几何体的正视图与侧视图相同，则此几何体的表面积为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数的定义域为，且，设：函数是偶函数；：函数是奇函数，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知圆：交轴正半轴于点，在圆上随机取一点，则使成立的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 设，为自然对数的底数，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 执行如图所示的程序框图，若输出的值为，则判断框内，对于下列四个关于的条件的选项，不能填入的是（ ） A. B. C. D. 8. 集合，，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 9. 已知，其中，，，， ，将的图象向左平移个单位得，则的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 10. 双曲线：（，）的两条渐近线互相垂直，，分别为的左，右焦点，点在该双曲线的右支上且到直线的距离为，若，则双曲线的标准方程为（ ） A. B. C. D. 以上答案都不对 11. 设等差数列的前项和为，已知，，则下列选项正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 12. 设.，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 第Ⅱ卷（共90分） 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13. 在的展开式中，各项系数的和为，其二项式系数之和为，若64是与的等比中项，则__________． 14. 我国古代数学家祖暅提出原理：“幂势既同，则积不容异”.其中“幂”是截面积，“势”是几何体的高.原理的意思是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被任一平行于这两个平行平面的平面所截，若所截的两个截面的面积恒相等，则这两个几何体的体积相等.如图所示，在空间直角坐标系平面内，若函数的图象与轴围成一个封闭的区域，将区域沿轴的正方向平移4个单位，得到几何体如图一，现有一个与之等高的圆柱如图二，其底面积与区域的面积相等，则此圆柱的体积为__________． 15. 如图所示，在正方体中，，，直线与直线所成的角为，直线与平面所成的角为，则__________． 16. 若数列满足，，则的最小值为__________． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在中，角，，的对边分别为，，，已知，，. （1）求边的长； （2）若，点，分别在线段，上，当时，求周长的最小值. 18. 当今信息时代，众多高中生也配上了手机.某校为研究经常使用手机是否对学习成绩有影响，随机抽取高三年级50名理科生的一次数学周练成绩，用茎叶图表示如下图： （1）根据茎叶图中的数据完成下面的列联表，并判断是否有95%的把握认为经常使用手机对学习成绩有影响？ 及格（） 不及格 合计 很少使用手机 经常使用手机 [来源:学科网] 合计 （2）从50人中，选取一名很少使用手机的同学记为甲和一名经常使用手机的同学记为乙，解一道数列题，甲、乙独立解决此题的概率分别为，，，若，则此二人适合结为学习上互帮互助的“师徒”，记为两人中解决此题的人数，若，问两人是否适合结为“师徒”？ 参考公式及数据：，其中. 0.10 0.05 0.025 2.706 3.841 5.024 19. 如图，在四棱锥中，平面，平面平面，，为等腰直角三角形，. （1）证明：平面平面； （2）若三棱锥的体积为，求平面与平面所成二面角的余弦值. 20. 在平面直角坐标系内，动点与两定点，连线的斜率之积为. （1）求动点的轨迹的方程； （2）设点，是轨迹上相异的两点. （Ⅰ）过点，分别作抛物线的切线，，与两条切线相交于点，证明：； （Ⅱ）若直线与直线的斜率之积为，证明：为定值，并求出这个定值. 21. 已知函数. （1）证明：当时，； （2）若函数有两个零点，（，），证明：. 请考生在22、23两题中任选一