安徽省淮北市第一中学2016-2017学年高二下学期期中考试数学（理）试题（图片版）

Scanned by CamScanner Scanned by CamScanner Scanned by CamScanner Scanned by CamScanner $$高二年级2016-2017学年度第二学期期中考试试卷 理科数学参考答案 1、 选择题：(本大题共12小题，每小题5分.) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D D C C A A C B D B A D 2、 填空题：(本大题共4小题，每小题5分.) 13. 14． 15. 16. 三、解答题 17．（本小题满分10分） 【解答】：（Ⅰ）设AB=x．因为△ABC是等边三角形，所以．因为，所以．即x2+2x﹣24=0．所以x=4，x=﹣6（舍）．所以AB=4． （Ⅱ）因为AD2=AB2+BD2﹣2AB•BDcos∠ABC，所以． 所以．在△ACD中，因为，所以． 18．（本小题满分12分） 【解答】：（1） (2)结论： 19.（本小题满分12分） 【解答】：（Ⅰ）因为，其中， 所以。 由于，所以的增区间为（0，a）,减区间为（a,+∞） （Ⅱ）证明：由题意得， ，即 由（Ⅰ）知在[1,e]恒成立， 要使对恒成立， 只要 解得。 20.（本小题满分12分） 【解答】： （Ⅰ） 证明：取AD中点G，连结EG，FG， ∵F为AC中点，∴， ∴， ∴四边形EBFG是平行四边形 ∴BF∥EG，又BF⊄平面ADE，EG⊂平面ADE， ∴EG∥平面ADE （Ⅱ） 如图示以E为坐标原点， 建立空间直角坐标系 则由已知得A， B（1，0，0），D（﹣1，2，0） 设平面EAB的法向量为 则 解得一个法向量为 设平面ABD的法向量为 则 解得一个法向量为 ∵， ∴二面角E﹣AB﹣D的平面角的余弦值．…（15分） 21．（本小题满分12分） 【解答】：(Ⅰ)则由题设可知b=1, 又e=,∴,∴a2=2 所以椭圆C的方程是. (Ⅱ)若直线与y轴重合,则以AB为直径的圆是x2+y2=1① 若直线垂直于y轴,则以AB为直径的圆是  ②,由①②解得. 由此可知所求点T如果存在,只能是(0,1) 事实上点T(0,1)就是所求的点。 下面证明当直线的斜率存在且不为0时T(0,1)也符合要求。 设的方程为,代入椭圆方程,并整理,得(18k2+9)x2−12kx−16=0 设点A. B的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则, ∵, ∴ ∴即以AB为直径的圆恒过定点T(0,1) 综上可知,在坐标平面上存在一个定点T(0,1)满足条件 22.（本小题满分12分） 【解答】：（Ⅰ） 设切点为，则切线的斜率为 点在上， ，解得 切线的斜率为，切线方程为 （Ⅱ） 当时，即时，在上单调递增； 当时，由得，，故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 当时，由得，在上单调递减，在上单调递增. 当时，有两个极值点，即，即a的范围是（0,1） （III）由（Ⅱ）知，由得， 由 ，即证明 即证明 构造函数， 在上单调递增， 又，所以在时恒成立，即成立 . 4 $$