高中数学破题致胜微方法（直线与椭圆的位置关系）：代数法判断直线与椭圆的位置关系

今天我们研究代数法判断直线与椭圆的位置关系，即直线与椭圆有相交、相切、相离三种关系。直线方程与椭圆方程联立，消去 或 得到关于 或 的一元二次方程，则（1）直线与椭圆相交 ；（2）直线与椭圆相切 ；（3）直线与椭圆相离 。所以判定直线与椭圆的位置关系，方程及其判别式是最基本的工具。 先看例题： 例：直线 与椭圆 只有一个公共点，则m=________ 解:由题意，将直线方程与椭圆方程联立，得： 因为直线与椭圆只有一个公共点，即 解得 ，进而求得 规律整理： 直线与椭圆位置关系的判定方法： 将直线方程与椭圆方程联立，消去一个未知数， 得到一个一元二次方程，判断方程解的情况： ，方程有两个不同的解，直线与椭圆相交； ，方程有两个相等的解，直线与椭圆相切； ，方程有无解，直线与椭圆相离； 注意：讨论的基础应该为二次方程，所以在二次项系数要求不为零。 再看一个例题，加深印象 例：判断直线 与椭圆 的位置关系。 解：直线与椭圆方程联立 可得： ， ， （1）当 时， 直线 与椭圆 相交； （2）当 时， 直线 与椭圆 相切； （3）当 时， 直线 与椭圆 相离。 总结： 1.直线与椭圆有相交、相切、相离三种关系，直线方程与椭圆方程联立，消去 或 得到关于 或 的一元二次方程，则 （1）直线与椭圆相交 ； （2）直线与椭圆相切 ； （3）直线与椭圆相离 。 2.判定直线与椭圆的位置关系，方程及其判别式是最基本的工具。 练习： 1. 若直线 与椭圆 恒有公共点，求实数 的取值范围. 2.已知椭圆 及直线 ． 当 为何值时，直线与椭圆有公共点？ 3.已知直线 过点(4,0)，且与椭圆 相切，求直线 的方 答案： 1. 解法一： 由 可得 ， 即 解法二：直线恒过一定点 当 时，椭圆焦点在 轴上，短半轴长 ，要使直线与椭圆恒有交点则 即 当 时，椭圆焦点在 轴上，长半轴长 可保证直线与椭圆恒有交点即 综述： 解法三：直线恒过一定点 要使直线与椭圆恒有交点，即要保证定点 在椭圆内部 即 2. 解：把直线方程 代入椭圆方程 得 ， 即 ． ， 解得 ． 3. 解：设直线 的方程： 联立直线与椭圆得： 消y整理得： 直线 与椭圆相切， 解得： 直线 的方程： 即 或 1 $$