学案57 正切函数的性质与图象-【智学校本学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

9.解：(1)因为-1≤sinx≤1， a+b=2 3 所以当b>0时，有 解得=2 1 a-b=- 2 b=1. 3 la-b=- 29 1 当b<0时，有 。解得 a= 2 1 [a+b=- 2 b=-1. (2)由(1)知a=2,所以函数y=一asin=-2sint,所以 当2=2kx一受k∈刀时，画教)=一a血工取得资大值， 1 (3)函数y=-asin x=一 2sinx,所以其图象的对称轴方程 为x=T十kπ(k∈Z). 学案57正切函数的性质与图象 课堂活动 活动一探究正切函数的定义域、周期性 与奇偶性 新知导学 问题1 提示：女x≠受+x,∈Z, 问题2提示：tan(x十x)=tanx说明y=tanx是周期函数， tan(一x)=一tanx说明y=tanx是奇函数. 问题3提示：对称中心为（凭，0）∈D。 新知生成 奇周期π 新知应用 1.C[由正切画最的定义城，令受十至kx+受∈乙。 即x≠2x+2(∈Z), 所以画教f(x)=-3an(受+买）的定义域为 {女x≠2x+受，keZ 故选C.] 2.A[函数f(x)=tan(wz十p)的最小正周期T=m,直接 利用公式，可得T-产一子故选A] 3.A[f(x)=os(经-x）+tanx=sinx+tanx,共定义域 为{小受+∈定义接关于原点对称，《一) sin(-x)十tan(-x)=-sinx-tanx=-f(x),故函数 f(x)为奇函数.] 4.BD[对于A,由f(x)=3tan2x,故f(x)的最小正周期T =2,故A错误； 对于B,由题南得2红受十x便∈Z0,即x≠至+经 2 (k∈Z),故B正确； 对于C,国象的对称中心是（停0），C错误： 对于D/)的定义线为≠景+经∈2， f(-x)=3tan(-2x)=-3tan2x=-f(x), 故f(x)是奇函数，故D正确 故选BD.] 5号ez到 [由题意可知，要使tanx有意义，则x ≠受十+∈Z, 又tanx≠0，解得x≠kπ，k∈Z, 综上可得x≠π， F2,k∈z, 所以y=品的定义越为：≠经k长z小】 活动二用性质探究正切函数的图象 新知导学 问题4提示：AT-amx.当x∈[0，）时，线段AT的长度 就是相应角x的正切值.我们可以利用线段AT画出函数y -tan z∈[0，受)的图象，如图所示。 0 问题5提示：根据正切函数是奇函数，只要画y=tanx,x∈ [0,)的图象关于原点的对称困形，就可得到y=anx,t ∈（受0）]的图象：根务正切面数的周期性，只受起通数) =1amx,x(受，受)的因象向左，右平移，海次半移天个 单位长度，就可得到正切函数y=an工，x∈R,且工≠受十 kπ，k∈Z的图象 新知应用 1.B[因为函数f(x)=2x·tanx(一1<x<1),所以f(一x) =一2x·tan(-x)=2x·tanx=f(x),则函数f(x)为偶函 数，图象关于y轴对称，故排除A,C选项； 又f(1)=2X1×tan1=2tan1>0,故排除D选项 故选B.] 2.D[y=an(-z)=-tnx在(-2，受）上单调递减，只有 图象d符合，即d对应③.故选D.] 731 活动三探究正切函数的单调性、值域 新知导学 问题6提示：正切画数在区间（一分，）上单调递增.由正 切函数的周期性可得，正切函数在每一个区间 （-受十k元，受十kx)(∈2)上都单调递增.不能说在定义 域内单调递增. 新知应用 1.(1)D[由函数f(x)=1+a(-ux+于)在(0,1)上单调 递增， 根据正切函数的性质，可得一w>0, 当x0,1)时，可得-auc+∈（径，-w+), 则-十≤受，解得-≤w<0 故选D.] 2c[周为z∈（管m故x+子∈（昏，吾+m, 由函数fa)=an(e十晋)在（行m)上单弱适增， 故子+m<经，所以<m≤ 7π 故选BC.] 2.解：1)国为f(x)=3an(日-)--3an(任-）， 所以)阶表小玉网湘T=奇一是-机 得4-智<<x+经∈D, 国为y=3m(任-吾）在（触-经，kx+警）∈团上单调 递增， 所以f(x)=3an(石-）的单调递减区间为 (x-经4x+）∈D. (2fw=3an(g-)=3tan(-)=-3an0 f(）=3an(后一）=3a(-)=-3am。 为0<受 且y=tanx在(0，受)上单调递增， 所以am吾<an爱所以fx>f(受） 课堂达标 1.B[y=an(-1)的最小正周期为”=1. π 故选B.] 174 2cxe[,…2x+∈[] 3an(2z+g)e[,3]. 故选C.] 3.D[f(-x)=tan(-2x)川=|tan2x|=f(x),为偶函数， 4A[当x-受时，tan(侵×否-）=0，稀除c.D 西基的月期T=至-2，游除B当工受时， 1 2 a(号×暂-晋）-am多无意义，同理多x-一晋时，也 无意义，故选A.] 5.4-2厅[面数y=2mx+a在[后，]上单消运增，则当 x=号时，yaa=2an合十a=a+26, 因此a十2√3=4，解得a=4-25.] 6.[因为f(x)=tan(x十p)的图象关于原点中心对称， 所以g经，∈乙，又p>0,放g的最小值为受] .{女kx+音<x<kx+受keZ[由3anx-B≥0，得 加≥停在（吾，受）内满足上选不等我的上的取维范 国为[后)： 又y=tanx的周期为π， 所以所求x的范因是{女医x+晋≤x<x十登∈Z.] 学案58两角差的余弦公式 课堂活动 活动一推导两角差的余弦公式 新知导学 问题1提示：P1(cosa,sina),P(cos(a一B),sin(a-B)), A1(cosB,sinB),连接AP,A1P,(图略)，根据圆的旋转对称 性，容易发现AP=A1P1. 问题2提示：根据两，点间距离公式，得 [cos(a-B)-1]2+sin2(a-B)=(cos a-cos B)2+(sin a -sin B), 化简得cos(a一B)=cos acos B+sin asin B. 问题3提示：成立. 新知生成 cos acos 8++sin asin 8 新知应用 证明：1cos(受-a）=os受cosa+sin吾sina =0+1Xsin a =sin a.人教A版数学必修第一册 课 学案57正切函数的性质与图象 记 学习任务 1.了解正切函数图象的画法，理解并掌握正切函数的性质.（直观想象、数学抽象) 2.能利用正切函数的图象与性质解决有关问题.（直观想象、数学运算） 课堂活动 厅新知生成 活动一探究正切函数的定义域、周期性 正切函数y=anx,x∈R且x≠受十灰x,A∈Z 与奇偶性 是 函数，也是 函数，其最小正 阄新知导学 周期是 形如y=tan(wx十p)(w≠0) 阅读教材第209一210页，完成下列问题， 的周期T= 问题1根据正切函数的定义，可知y=tanx的 定义域是什么？ 今新知应用 1.函数f(.x)=-3tan + 的定义域是 A≠别 B.{zx≠2 1 C女≠2x+ez 问题2结合与正切有关的诱导公式：tan(π十x) =tanx,tan(-x)=一tanx,说明正切函数有 D. x≠kπ十 什么性质？ 2.函数f(x)=an(-4x+否)的最小正周期为 ( A.4 t B. C.π D.2π 3.函数f(x)=cos(2 π -x十tanx为 A.奇函数 B.偶函数 C.既不是奇函数也不是偶函数 问题3正切函数y=tanx,x∈R且x≠kπ十 D.既是奇函数又是偶函数 2b∈Z图象的对称中心是什么？ 4.(多选)已知f(x)=3tan2x,则下列结论正确 的是 () A.f(x)的最小正周期T=元 B了x)的定义域为女≠至+经k∈乙 C了x)图象的对称中心是(0小∈刀 D.f(x)是奇函数 5函数y”的定文城为 11176 正切函数的性质与图象学案57 「方法总结」与正切函数有关的周期性、奇偶性 厅新知生成 听 解题策略 (1)一般地，函数y=Atan(wx十p)(Aw≠0)的最 如图，我们把它叫做正切曲线. 课笔 小正周期为T一如，常常利用此公式来求周期。 (2)判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断 其是否关于原点对称.若不对称，则该函数无奇偶 性；若对称，再判断f(一x)与f(x)的关系. 活动二用性质探究正切函数的图象 阄新知导学 阅读教材第210一211页，完成下列问题. 从图可以看出，正切曲线是由被与y轴平行的 问题4如图，在单位圆中，切线AT交OB于T, 则AT与tanx有什么关系？由此想一下，如 一系列直线x=父十kπ，k∈Z所隔开的无穷多 2 何画y=tanx,x∈ 0,)的图象 支形状相同的曲线组成的， 今新知应用 1.函数f(x)=2x·tanx(-1<x<1)的图象可 A(1,0)x 能是 ) 问题5你能借助以上结论，并根据正切函数的 性质，画出正切函数的图象吗？正切函数的图 象有怎样的特征？ 2.图中的图形分别是①y=|tanx|;②y=tanx; ③y=tan(-x);④y=tan|x|在x∈ (-红，}内的大致闲象，那么由。到d对应 的函数关系式应是 17710 人教A版数学必修第一册 听课笔 新知应用 1.(1)若函数f(x)=1-tan(ax-牙)o≠0)在 (0,1)上单调递增，则ω的取值范围是() d A. B( A.①②③④ B.①③④② C.③②④① D.①②④③ c.o. 「方法总结」解决与正切函数有关的图象识别 问题的常用方法 (2)(多选)已知函数f(x)=tan(c+),若 (1)作图法：先作出相关函数的图象，再对照选项 fx)在（后m上单调递增，则m的可能取 确定正确答案。 (2)性质法：研究相关函数的性质（特别是定义域、 值是 () 值域、单调性、奇偶性、对称性、特殊点、函数值变 b 2π 化规律等)，排除相关选项，从而确定正确答案。 c 5π 活动三探究正切函数的单调性、值域 D.4 阄新知导学 2.已知函数fx)-3an(后-普)】 阅读教材第211一212页，完成下列问题. (1)求f(x)的最小正周期和单调递减区间； 问题6观察正切曲线，能否说正切函数在定义 πY 的大小 域内单调递增？ (2)试比较f(π)与f2 同新知生成 正切函数在每 一个区间 单调性 受+x,受+小∈工)上都单调 递增 正切函数没有最大值和最小值，故正切函 值域 数的值域是实数集R 11178 正切函数的性质与图象 学案57 「方法总结」1.利用正切函数单调性比较大小 A. B. 听 的方法 (1)利用函数的周期性或诱导公式将角化到同一 C.[3,33] 记 单调区间内. D. (2)利用单调性比较大小关系. 3.函数f(x)=|tan2x|是 ( 2.求函数y=tan(wz十p)的单调区间的方法 A.周期为π的奇函数B.周期为π的偶函数 当w>0时，先起x十9看成一个整体，解一受十 C.周期为5的奇函数D.周期为的偶函数 kr<x十9<十kπ，k∈Z即可.当u<0时，先 4.函数y=tan 一）在一个周期内的图象是 用诱导公式把w化为正值再求单调区间. 七课堂小结 图象 5T3 09/2π7π 36 定义域 值域 正切函数的 性质与图象 奇偶性 对称性 y 单调性 5 周期性 课堂达标 1.函数y=tan(πx一l)的最小正周期为() 5.函数y=2tanx十a在x∈ 6’3 上的最大值 A.2 B.1 为4，则实数a的值为 C.元 D.2π 6.已知函数f(x)=tan(x十p)(p>0)的图象关 的值 2.函数f(x)=3a2x+》x∈0,7司 于原点中心对称，则9的最小值为 域为 ( 7.函数y=√3tanx一√3的定义域为 课后反思 17910