高中数学破题致胜微方法（直线与椭圆的位置关系）：坐标变换法判断直线与椭圆的位置关系

今天我们研究坐标变换法判断直线与椭圆的位置关系。直线与椭圆的位置关系可分为相切 、相交和相离三种位置关系。类似判断直线与圆的位置关系，则（1）直线与圆相交 ；（2）直线与圆相切 ；（3）直线与圆相离 , 是圆的半径， 是圆心到直线的距离。利用坐标变换就可以将直线与椭圆的位置关系转化为直线与圆的位置关系 ,即具有“化扁为圆”的效果。 先看例题： 例：直线 与椭圆 有两个不同的公共点，求k的取值范围. 解：令 将椭圆变换为单位圆 已知直线和椭圆方程化为 则原直线与椭圆有两个不同交点转化为新直线和单位圆有两个不同交点， 解得 k的取值范围 归纳整理： 经过坐标变换： 将直线与椭圆的位置关系，转化为研究直线与单位圆的位置关系： ，直线与圆相交，则直线与椭圆相交； ，直线与圆相切，则直线与椭圆相切； ，直线与圆相离，则直线与椭圆相离； 注意：当椭圆焦点在y轴时，求解方法类似，但要注意系数的位置。请同学们自己写一写。 再看一个例题，加深印象 例：直线 与椭圆 只有一个公共点则m=______ 解: 已知直线和椭圆方程化为 直线与圆相切 因此 解得： 总结： 1.直线与椭圆有相交、相切、相离三种关系，用坐标变换就可以将直线与椭圆的位置关系转化为直线与圆的位置关系。 2.正确写出椭圆的标准方程，找到长半轴和短半轴，得到坐标变换。 3.计算量要明显小于一般代数方法。 练习： 1.判断直线 与椭圆 的位置关系。 2.已知椭圆 及直线 ．当m为何值时，直线与椭圆有公共点？ 答案： 1.解：设 ， 已知直线和椭圆方程化为 圆心到直线的距离 (1)当 时， 直线 与椭圆 相交； (2)当 时， 直线 与椭圆 相切； (3)当 时， 直线 与椭圆 相离。 2. 解：设 ， 已知直线和椭圆方程化为 圆心到直线的距离 当 时，解得 ,直线 与椭圆 相交. 1 $$