高中数学破题致胜微方法（直线与椭圆的位置关系）：过椭圆上一点的切线方程

今天我们研究过椭圆上一点的切线方程。可以利用导数的几何意义，得出切线的斜率，再根据点斜式写出切线方程；也可以用代数法将直线与椭圆的方程联立，消去 或 得到关于 或 的一元二次方程，则直线与椭圆相切 。 先看例题： 例：证明过椭圆C: (m>n>0)上一点Q(x0,y0)的切线方程为 。 解：由椭圆C： ,则有 当 时, ,求导数为： , ∴当 时, . ∴切线方程为 , 整理为： , 两边同时除以 得： . 同理可证： 时,切线方程也为 . 当 时,切线方程为 满足 . 综上,过椭圆上一点 的切线方程为 . 另解：当斜率存在时,设切线方程为,联立方程: 可得 ,化简可得: ,① 由题可得: , 化简可得: , ①式只有一个根,记作 , , 为切点的横坐标, 切点的纵坐标 ,所以 ,所以 , 所以切线方程为: , 化简得: . 当切线斜率不存在时,切线为 ,也符合方程 , 综上: 在点 处的切线方程为 . 整理： 在椭圆 上，椭圆在点Q处的切线方程为 对于m>n>0，0<m<n都适用。 例：设椭圆 C： ,点P .求椭圆C在点P处的切线l的方程. 解: 将点P代入椭圆方程，发现点P在椭圆上，所以有： 代入题中数据得： 整理为： 总结： 1.根据点在在椭圆上，可以直接写出过椭圆上一点的切线方程。 2. 在点 处的切线方程为 ，当m=n时，特殊情形转化为过圆上一点的切线方程。 练习： 1.点P(x0,y0)在椭圆 (a>b>0)上,x0=acosβ,y0=sinβ, .直线l2与直线l1: 垂直,O为坐标原点,直线OP的倾斜角为α,直线l2的倾斜角为γ. (Ⅰ)证明:点P是椭圆 与直线l1的唯一交点; (Ⅱ)证明:tanα,tanβ,tanγ构成等比数列. 2.如图,点F1(－c,0),F2(c,0)分别是椭圆C: 的左、右焦点,过点F1作x轴的垂线交椭圆C的上半部分于点P,过点F2作直线PF2的垂线交直线 于点Q. (Ⅰ)如果点Q的坐标是(4,4),求此时椭圆C的方程; (Ⅱ)证明:直线PQ与椭圆C只有一个交点. 3.如图，设椭圆 ，动直线l与椭圆C只有一个公共点P，且点P在第一象限. (Ⅰ)已知直线l的斜率为k，用a，b，k表示点P的坐标； (Ⅱ)若过原点O的直线l1与l垂直，证明：点P到直线l1的距离的最大值为a－b. 答案： 1. 2. 3. 1 $