高中数学破题致胜微方法（直线与椭圆的位置关系）：利用直线倾斜角求椭圆焦半径

今天我们研究利用直线倾斜角求椭圆焦半径.根据椭圆的第二定义，可以推导出椭圆焦半径含倾斜角的公式，而且当倾斜角为直角时，焦点弦最短。 先看例题： 例：已知椭圆C: (a＞b＞0),其相应于焦点F(2,0)的准线方程为x=4.已知过点F1(－2,0)倾斜角为θ的直线交椭圆C于A,B两点,求证: ; 解： 根据题目条件，可知 ∴可以解得： ∴椭圆C的方程为 .离心率 又F1(－2,0)是椭圆C的左焦点，设l为椭圆的左准线,则l:x=－4. 作AA1⊥l于A1,BB1⊥l于B1,l与x轴交于点H(如图). ∵点A在椭圆上, ∴ EMBED Equation.DSMT4 . ∴ . 同理： . ∴|AB|=|AF1|+|BF1| . 另解：当 时,记k=tanθ.则AB:y=k(x+2), 将其代入方程x2+2y2=8 得(1+2k2)x2+8k2x+8(k2－1)=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2), 则x1,x2是此二次方程的两个根. , . . .① ∵k2=tan2θ,代入①式得 .② 当 时, 仍满足②式. ∴ . 注意：另解思考上更直接，但明显运算量较大。 规律整理： 对于焦点在x轴上的椭圆： 再看一个例题，加深印象 例：已知椭圆C： 的离心率为 ，过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若 ，则k=________ 解：根据前面的公式，分别表示出 ， 根据题意有： 所以 进而 EMBED Equation.DSMT4 总结： 1.椭圆的焦点在x轴上，利用直线倾斜角可以直接写出椭圆焦半径。 2.本文的公式都是以倾斜角为锐角的情形推导的，若倾斜角为直角或者钝角仍然成立。 3.当倾斜角为直角时，焦点弦最短即为椭圆的通径。 练习： 1.已知椭圆C: ，过点F1(－2,0)作两条互相垂直的直线分别交椭圆C于点A,B和D,E,求|AB|＋|DE|的最小值. 2.设椭圆C: 的左焦点为F,过点F的直线l与椭圆C相交于A,B两点，直线l的倾斜角为60°, . 求椭圆C的离心率; 答案 1. 解：设直线AB倾斜角为θ,由于DE⊥AB, , . . 当 或 时,|AB|+|DE|取得最小值 . 2. 解： EMBED Equation.DSMT4 另解：设 ,由题意知y1<0,y2>0. 直线l的方程为 ,其中 . 联立 得 解得