高中数学破题致胜微方法（直线与椭圆的位置关系）：椭圆被直线截得的弦长

今天我们研究椭圆被直线截得的弦长，即直线与椭圆相交的两个交点的距离。直线方程与椭圆方程联立，消去 或 得到关于 或 的一元二次方程，利用两点间距离公式得到弦长公式 （直线斜率k存在）时，同时应结合韦达定理解决问题。 先看例题： 例：已知椭圆C: , 被直线x=－1截得弦 ，则C的长轴长为( ) 解：将x=－1代入椭圆方程： ， 整理为： ，即 解得： ， 所以A、B两点坐标为： ,解得b=4,故长轴长为2b=8. 归纳整理： 弦长公式：直线方程与椭圆方程联立，消去 或 得到关于 或 的一元二次方程， 注意：根据实际题目需要，合理的消去未知数，再选取合适的公式进行计算。 再看一个例题，加深印象 例：已知椭圆4x2+y2=1及直线l:y=x+m. 当直线l被椭圆截得的弦最长时,求直线l的方程. 解：直线与椭圆联立得： 整理为：5x2+2mx+m2－1=0. 因为直线l与椭圆有公共点,所以Δ=4m2－20(m2－1)≥0, 解得 ,即实数m的取值范围是( , ). 设直线l与椭圆交于点A(x1,y1),B(x2,y2), 则 , . 于是 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 . 所以当m=0时，|AB|取到最大，此时直线l的方程为y=x. 总结： 1.在利用弦长公式 （k为直线斜率）时，应结合韦达定理解决问题。 2.特殊情形下，直线斜率为0时，弦长公式退化成 ；直线斜率不存在时，弦长公式退化成 。 练习： 1.已知椭圆 的左右焦点分别为F1,F2，若过点P（0，-2）及F1的直线交椭圆于A,B两点，求 。 2.如图,设P是圆 上的动点,点D是P在x轴上的投影,M为PD上一点,且 (Ⅰ)当P在圆上运动时,求点M的轨迹C的方程; (Ⅱ)求过点(3,0)且斜率为 的直线被C所截线段的长度. 答案： 1.解法一：由题可知：直线 方程为 由 可得 ， 解法二： 由 可得 ， 2. 1 $$