高中数学破题致胜微方法（直线与椭圆的位置关系）：椭圆弦中点的性质

今天我们研究椭圆弦的中点性质。在圆中，弦的中点和圆心的连线垂直于弦。那么对于椭圆是否也有类似的结论呢？在椭圆中,设AB（不过坐标原点）是椭圆的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则弦的中点和椭圆中心的连线与弦的斜率之积为定值。 先看例题： 例：设椭圆 ，斜率为1的直线（不过原点 ）与椭圆 相交于 两点， 为线段 （不过坐标原点）的中点．问：直线 与 能否垂直?说明理由． 解： 则将A、B代入椭圆方程，有 又 于是 得 所以两直线斜率乘积不等于-1，故直线 与 不垂直。 规律整理（点差法）： 若AB（不过坐标原点）是椭圆 的不平行于对称轴的弦，M 为AB的中点，则 。 即 。 简证如下： 注意：不平行与对称轴，即保证所讨论两条直线的斜率均存在。 再看一个例题，加深印象 例：过点M(-2,0)的直线l与椭圆C: 交于 两点 ，线段 中点为 P。设直线l的斜率为k ( ) , OP 斜率为 ，求证 ： 是一个定值 。 证明 ：设l与椭圆的两交点 坐标为 , 将两点坐标代入椭圆方程有： ， 两式相减得： ， 得 , 设 的中点为 , ， 又 , 得 （定值 ）。 总结： 1.在椭圆中，弦不平行于对称轴时，则弦的中点和椭圆中心的连线与弦的斜率之积为定值。 2.特殊情形下，弦平行于对称轴时，则弦的中点和椭圆中心的连线与弦垂直。 练习： 1.设A是单位圆x2+y2=1上的任意一点,l是过点A与x轴垂直的直线,D是直线l与x轴的交点,点M在直线l上,且满足|DM|=m|DA|(m>0且m≠1).当点A在圆上运动时,记点M的轨迹为曲线C. (Ⅰ)求曲线C的方程,判断曲线C为何种圆锥曲线,并求其焦点坐标; (Ⅱ)过原点且斜率为k的直线交曲线C于P,Q两点,其中P在第一象限,它在y轴上的射影为点N,直线QN交曲线C于另一点H.是否存在m,使得对任意的k>0,都有PQ⊥PH? 若存在,求m的值;若不存在,请说明理由. 2.平面直角坐标系xOy中,过椭圆M: 右焦点的直线 交M于A,B两点,P为AB的中点,且OP的斜率为 . (Ⅰ)求M的方程; (Ⅱ)C,D为M上两点,若四边形ACBD的对角线CD⊥AB,求四边形ACBD面积的最大值. 答案： 1. 2. 1 $$