高中数学破题致胜微方法（直线与椭圆的位置关系）：椭圆中另一种线段之和的最值问题

今天我们研究椭圆中线段之和 （|MF|为焦半径，A是定点）的最值。根据椭圆的第一定义，利用三角形中两边之和大于第三边，三角形中两边之差小于第三边，处理线段之和的最值问题时，画出图形，利用几何图形的性质三点共线线段之和取得最值。 先看例题： 例：若椭圆 内有一点 ， 为右焦点，椭圆上的点 使得 的值最小，则点 的坐标为（ ） A． B． C． D． 解：注意联系： 将 用第二定义转化成点到相应准线的距离问题。 由上述分析可知： （d为M到右准线的距离） 则问题转化为 何时最小，如图： 做P点到右准线的垂线，与椭圆的交点即为M的位置。 所以M的纵坐标为1，代入椭圆有 则有 ，解得 （舍负） 所以本题选B 思考：如果去掉 中的2倍，变为求 的最小值，该如何讨论呢？ 例：若椭圆 内有一点 ， 为右焦点，点 是椭圆上的动点，求 的最小值。 解：设F1是椭圆的左焦点 利用椭圆的第一定义：有|MF1|＋|MF|＝4，|MF|＝4－|MF1|， 则可以将所求内容转化为：|MP|＋|MF|＝4+|MP|－|MF1|, 连接 PF1并反向延长交椭圆于M点， 此时|MP|-|MF1|取最小值-|PF1|， 故|MP|＋|MF|的最小值为4-|PF1|＝ 注意：我们选择椭圆的何种性质作为辅助手段转化问题，是由题目本身的特点决定的，首要任务是看清题目，找到条件与所求的差距。 归纳整理： 在讨论椭圆中线段之和的最值问题时： 首先根据题目本身的特点，确定使用椭圆的第一定义或（和）第二定义，转化问题。 再利用三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边 画出图形。 进而利用集合图形的性质：三点共线，线段之和取得最值。 例：若椭圆 内有一点 ， 为右焦点，点 是椭圆上的动点，求 的最大值。 解：设F1是椭圆的左焦点 利用椭圆的第一定义：|MF1|＋|MF|＝4，|MF|＝4－|MF1|， 问题转化为：|MP|＋|MF|＝4+|MP|－|MF1|, 连接 PF1并延长交椭圆于M点，如图： 此时|MP|-|MF1|取最大值|PF1|， 故|MP|＋|MF|的最大值为4+|PF1|＝ 总结： 1.在遇到椭圆中线段和的最值问题时，常利用椭圆上点的性质（ ）及三角形三边关系. 2.设椭圆 的左右焦点分别为F1、F2， P(x0，y0)为椭圆内一点，M(x，