高中数学破题致胜微方法（直线与椭圆的位置关系）：直线和椭圆相交 求中点弦所在的直线方程

今天我们研究直线和椭圆相交求中点弦所在的直线方程.。一种方法是将直线方程代入椭圆方程整理后利用韦达定理，求出直线的斜率；另一种方法是利用点差法，根据椭圆弦中点的性质，得求出直线的斜率，再用点斜式得出直线方程。 先看例题： 例：过椭圆 内一点M(2，1)引一条弦，使弦被点M平分，求这条弦所在的直线方程。 解法一：设所求直线方程为y-1=k(x-2)，代入椭圆方程并整理得： 又设直线与椭圆的交点为A( )，B( )， 则 是方程的两个根，于是 ， 又M为AB的中点，所以 ， 解得 ， 故所求直线方程为 。 整理： 求中点弦所在的方程： 方法一：设直线方程为点斜式，与椭圆方程联立，消去一个未知数得到一个一元二次方程，利用韦达定理，得两根之和，求中点的横坐标或纵坐标，进而求直线的斜率； 方法二：设所求的直线与椭圆两交点分别为 ，分别代入椭圆方程中，用点差法求直线的斜率。 点差法： AB（不过原点）是椭圆 的不平行于对称轴的弦，M 为AB的中点，则 ，即 。 简证如下： 即 。 再看上面例题的另一种解法，加深印象 例：过椭圆 内一点M(2，1)引一条弦，使弦被点M平分，求这条弦所在的直线方程。 解法二：设直线与椭圆的交点为A( )，B( )，M(2，1)为AB的中点， 所以 ， ， 又A、B两点在椭圆上，则 ， ， 两式相减得 ， 所以 ，即 ， 故所求直线方程为 。 注意：合理使用点差法，可以大大降低运算量。 总结： 1.一种方法是将直线方程代入椭圆方程整理后利用韦达定理，求出直线的斜率，再用点斜式得出直线方程。 2.另一种方法是利用点差法，根据椭圆弦中点的性质，得求出直线的斜率，再用点斜式得出直线方程。 练习： 1.已知 是直线 被椭圆 所截得的线段的中点，求直线 的方程． 2.已知椭圆的离心率 ,且其焦点在x轴上,若椭圆经过点 . ①求椭圆方程; ②是否存在一条直线过点P(1,1),且与椭圆所截得的弦以P为中点?若存在,求此直线;若不存在,说明理由. 3.已知中心在坐标原点的椭圆E的长轴的一个端点是抛物线 的焦点,且椭圆E的离心率是 (1)求椭圆E的方程; (2)过点C(－1,0)的动直线与椭圆E相交于A,B两点.若线段AB的中点的横坐标是 求直线AB的方程. 答案： 1.解：方法一：设所求直线方程为 ．代入椭圆方程，整理得 　① 设直线与椭圆的交点为