高中数学破题致胜微方法（直线与椭圆的位置关系）：直线和椭圆相交 求中点弦所在直线方程的简单方法

今天我们研究直线和椭圆相交求中点弦所在直线方程的简单方法。前面的微课中已经介绍的方法有韦达定理和点差法，求出直线的斜率，得出直线方程。今天再介绍两种方法求中点弦所在直线方程，一种是利用直线的参数方程，代入椭圆方程整理后利用韦达定理，根据中点的几何意义，求出直线的斜率；另一种方法是设弦端点的坐标为特殊形式，代入椭圆方程相减后直接得出直线方程。后一种方法是简单方法。 先看例题： 例：过椭圆 内一点M(2，1)引一条弦，使弦被点M平分，求这条弦所在的直线方程。 解法一：设所求直线的参数方程为 代入椭圆方程 并整理得： 又设直线与椭圆的交点为A，B，则方程的两个根 是A，B对应的参数， M为AB的中点，所以 ， 解得 ，即为直线斜率， 故所求直线方程为 归纳整理： AB是椭圆 的不平行于对称轴的弦，M 为AB的中点，求直线AB方程的方法： 解法一：设所求直线的参数方程为 代入椭圆方程并整理得t的一元二次方程： 方程的两个根 是A，B对应的参数， 由M为AB的中点，有 求得直线斜率。 解法二（简单方法）： 整理椭圆方程为 设： 就是中点弦所在的直线方程。 此种方法求解计算量相当小，所以称为简单方法。 再看上面例题的另一种解法，加深印象 例：过椭圆 内一点M(2，1)引一条弦，使弦被点M平分，求这条弦所在的直线方程。 解法二：设所求直线与椭圆的一个交点为A( )，由于中点为M(2，1)， 则另一个交点为B( )， 因为A、B两点在椭圆上，所以有 ， 两式相减得 ， 由于过A、B的直线只有一条，故所求直线方程为 。 总结： 1.利用直线的参数方程，代入椭圆方程整理后利用韦达定理，根据中点的几何意义，求出直线的斜率，得出中点弦所在直线方程。 2.设弦端点的坐标为特殊形式，代入椭圆方程相减后直接得出中点弦所在直线方程。这种方法是简单方法。 练习： 1.已知 是直线 被椭圆 所截得的线段的中点，求直线 的方程． 2.已知椭圆的离心率 ,且其焦点在x轴上,若椭圆经过点(1, ). ①求椭圆方程; ②是否存在一条直线过点P(1,1),且与椭圆所截得的弦以P为中点?若存在,求此直线;若不存在,说明理由. 答案 1. 解：设所求直线与椭圆的一个交点为A( )，由于中点为P(4，2)， 则另一个交点为B(8- )， 因为A、B两点在椭圆上，所以有 ，