高中数学破题致胜微方法（直线与椭圆的位置关系）：直线和椭圆相交 求弦中点的坐标

今天我们研究直线和椭圆相交求弦中点的坐标。一种方法是将直线方程与椭圆方程联立消去 (或 )，得到关于 (或 )的一元二次方程，再由根与系数的关系，直接求出 ， (或 )的值代入计算即得中点的坐标；另一种方法是点差法，将弦端点坐标代入椭圆方程相减计算得中点的坐标关系式。两种方法都不需要求出直线与椭圆的交点坐标，这种“设而不求”的方法，在解析几何中是经常采用的。 先看例题： 例：已知椭圆C的焦点 和 ，长轴长为6，设直线 交椭圆C于A，B两点，求线段AB中点的坐标。 解：由题可设椭圆的标准方程为 ， 则 椭圆的方程为 EMBED Equation.3 设 ，联立直线与椭圆方程 整理得： 展开得： 归纳整理： AB（不过坐标原点）是椭圆 的不平行于对称轴的弦，M 为AB的中点，求中点M坐标的方法： 方法一：直线方程代入椭圆方程，由根与系数的关系，得两根之和，再求中点坐标。 方法二（点差法）：。 设 两式相减 整理为： 再根据中点在已知直线AB上，进而求得中点坐标。 再看上面例题的另一种解法，加深印象 例：已知椭圆C的焦点 和 ，长轴长为6，设直线 交椭圆C于A，B两点，求线段AB中点的坐标。 解：求得椭圆方程 分别代入椭圆方程 两式相减得： EMBED Equation.DSMT4 得： 再根据所求点在直线方程上 ，解得 所以AB中点坐标为 EMBED Equation.3 总结： 1.在椭圆中，弦不平行于对称轴时，则弦的中点和椭圆中心的连线与弦的斜率之积为定值。 2.特殊情形下，弦平行于对称轴时，则弦的中点和椭圆中心的连线与弦垂直。 练习： 1.已知椭圆 的左右焦点分别为 ，若过点P(0，-2)及 的直线交椭圆于A,B两点，求线段AB中点的坐标。 2.已知 是直线 : 被椭圆 所截得的线段的中点，求 的坐标． 答案： 1. 解法一：由题可知：直线 方程为 由 可得 ， 设直线与椭圆交于点A(x1,y1),B(x2,y2), 则 ,于是 解法二：由 可得 ， 设直线与椭圆交于点A(x1,y1),B(x2,y2), 则 ,于是 2. 解：设直线与椭圆交点 ， ， 中点 ， 又∵ ， 在椭圆上， ∴ ， 两式相减得 ， 即 ． ∴ ．（1） 点 在直线 上， （2） （1）（2）联立得 的坐标 1 $$