高中数学破题致胜微方法（直线与椭圆的位置关系）：直线和椭圆相交 巧解中点弦相关问题

今天我们研究直线和椭圆相交巧解中点弦相关问题。将弦的两个端点坐标设为对称形式，可以快速得出中点弦所在直线的斜率和弦长，解题时若能充分利用这些结论,则可以轻松准确地解决“中点弦”的有关问题。 先看例题： 例：椭圆方程为 的弦AB被点M 平分，求弦AB所在的直线方程. 解：“巧解”体现在巧妙的设法： 由题意可设 , 则有： 以上两式相减得: 所以AB直线方程为 整理得： 归纳整理： 如上图所示,点 是线段 的中点, 设 , EMBED Equation.DSMT4 有下面两个非常简单有趣的结论： （1） ； （2） . 再看一个例题，加深印象 例：椭圆方程为 求以 为中点的弦 的弦长. 解:由题意可设 , 则有: 以上两式相减得: 即 将其代入 中可求得 所以弦 的长为 总结： 1.将弦的两个端点坐标设为对称形式，设 , EMBED Equation.DSMT4 ， 可以快速得出中点弦所在直线的斜率 。 2.将弦的两个端点坐标设为对称形式，设 , EMBED Equation.DSMT4 ， 可以快速得出弦长 。 练习： 1.椭圆 的弦 被点 平分,求弦 所在的直线方程. 2.已知 是直线 被椭圆 所截得的线段的中点，求直线 的方程． 答案： 1. 解:依题意,可设 , ,则 两式相减,得 , 故所求直线的方程为 ∴所求直线方程为 ． 2. 解：方法一：设所求直线方程为 ．代入椭圆方程，整理得 　① 设直线与椭圆的交点为 ， ，则 、 是①的两根， ∴ ∵ 为 中点，∴ ， ． ∴所求直线方程为 ． 方法二：设直线与椭圆交点 ， ． ∵ 为 中点，∴ ， ． 又∵ ， 在椭圆上， ∴ ， 两式相减得 ， 即 ． ∴ ． ∴直线方程为 ． � 1 $$