高中数学破题致胜微方法（直线与椭圆的位置关系）：直线和椭圆相交 求过定点的动弦中点的轨迹方程

今天我们研究直线和椭圆相交过定点的动弦中点的轨迹方程。当定点在椭圆上，可以用点差法或相关点法求轨迹方程。当定点在椭圆外，可以用点差法或韦达定理消参求轨迹方程，此时一定要验证直线与椭圆相交的条件，并求出变量的取值范围。 先看例题： 例：过椭圆 上一点P(-8，0)作直线交椭圆于Q点，求PQ中点的轨迹方程。 解：设弦中点M（ ），Q（ ）， 由 ， ，可得 ， ， 又因为Q在椭圆上，所以有 ， 所以中点M轨迹方程为： ， 所以PQ中点M的轨迹方程为 （ ）。 注意：PQ两点不会重合，所以M不会取到(-8,0)点。 规律整理： （1）当定点 在椭圆上，可用相关点法，求椭圆 上点P作直线交椭圆于Q点，PQ中点的轨迹方程。 思路：设弦中点M（ ），Q（ ）， ， ， 又因为Q在椭圆上，代入椭圆方程整理得轨迹方程。 （2）当定点 在椭圆外，求过点P作直线交椭圆于A、B，求直线被椭圆截得的弦的中点的轨迹方程。 思路：验证直线与椭圆相交，联立方程，整理为一元二次方程，在 时，求出x或y的取值范围。 （3）先验证斜率不存在的情况是否符合题意。 再看一个例题，加深印象 例：已知椭圆 ，过点 引椭圆的割线，求割线被椭圆截得的弦的中点的轨迹方程。 解：先判断斜率不存在的情况，即直线x=2，与椭圆无交点。 即当 不存在时，不满足题设要求。 则可设过点 的直线方程为 ， 联立方程 ，消去 ，整理得 ， 因为直线与椭圆相交，所以 解得 设弦的两个端点为 、 ，中点 ， 则由韦达定理知： ， 反表示为： ，由上述求得k2的范围，则有 ，解得 。 由直线方程 ，两边平方得 代入 有 ， 即求得轨迹方程为： 注意： （1）过定点的动弦中点的轨迹方程时，当定点在椭圆外的时候一定要验证直线与椭圆相交的条件 ，并求出 （或 ）的取值范围； （2）验证斜率不存在的情况是否符合题意。 总结： 1.直线与椭圆相交求过定点的动弦中点的轨迹方程时，当定点在椭圆上，可以用点差法或相关点法求轨迹方程。 2.直线与椭圆相交求过定点的动弦中点的轨迹方程时，当定点在椭圆外，可以用点差法或韦达定理消参求轨迹方程，此时一定要验证直线与椭圆相交的条件 ，并求出 （或 ）的取值范围。 练习： 1.过椭圆 上一点P（-8，0）作直线交椭圆于Q点，用点差法求PQ中点的轨迹方程。 2.已知椭圆 ，过点 引椭圆的割线，用点差法求求割线被