高中数学破题致胜微方法（直线与椭圆的位置关系）：已知椭圆弦中点求椭圆方程

今天我们研究已知椭圆弦中点求椭圆方程。利用点差法得出椭圆长半轴长和短半轴长的一个关系式，再结合已知条件，用待定系数法求出椭圆方程。 先看例题： 例：已知椭圆E: (a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线变E于A,B两点.若AB的中点坐标为(1,－1),则E的方程为( ) A. B. C. D. 解：如图所示,设点A的坐标为(d,h),点B的坐标为(f,g),AB的中点为P. 将A、B两点代入椭圆方程可得 , 两式相减得 , 即可得 , ∵ , , ∴ , 即得a2=2b2,又由c2=a2－b2=2b2－b2=b2=32=9,可得b2=9,a2=18, 则所求椭圆方程为 ,故本题选D. 规律整理： 用点差法，确定椭圆方程： 设方椭圆程为： (a＞b＞0)， 表示椭圆以A(x1，y1)，B(x2，y2)为端点的弦AB(不过原点)的斜率，令M(x0，y0)为弦AB的中点，M与椭圆中心O连线的斜率为 ，则有 。 简要证明： 即 由此得出a，b关系，再根据题目中其它条件，求得椭圆方程。 再看一个例题，加深印象 例：已知中心在原点，一焦点为 的椭圆被直线 截得的弦的中点的横坐标为 ，求椭圆的方程。 解：设椭圆的方程为 ，则 ┅┅① 设弦端点 、 ，弦 的中点 ，则 又 ， 两式相减得 再由 ， EMBED Equation.3 ， 代入上式可得： ┅┅② 联立①②解得 ， 所求椭圆的方程是 总结： 1.设椭圆弦的端点代入椭圆方程，利用点差法得出椭圆长半轴长和短半轴长的一个关系式。 2.结合已知条件，根据椭圆中a,b,c的关系，用待定系数法求出椭圆方程。 练习： 1.已知中心在原点，长轴在x轴上的椭圆的两准线间的距离为2 ，若椭圆被直线x+y+1=0截得的弦的中点的横坐标是 ，求椭圆的方程。 2.平面直角坐标系xOy中,过椭圆M: 右焦点的直线 交M于A,B两点,P为AB的中点,且OP的斜率为 . (Ⅰ)求M的方程; (Ⅱ)C,D为M上两点,若四边形ACBD的对角线CD⊥AB,求四边形ACBD面积的最大值. 答案： 1. 解：令椭圆方程为 ， 由题得： ， 由 作差得 又 即 椭圆方程为 2. 1 $$