“子墨课堂”同步精练—解三角形：“子墨课堂”第一章　解三角形 正弦定理（一）

“子墨课堂”态度决定一切 强势来袭，王者归来！ “子墨课堂”同步精练 课堂目录 “子墨课堂”第一章 解三角形 §1.1 正弦定理和余弦定理 1．1.1 正弦定理(一) <主讲：杜永堂> 学习目标 1．掌握正弦定理的内容并且熟记正弦定理的内容； 2．了解正弦定理的证明方法以及几何意义； 3．能够初步运用正弦定理解斜三角形； 4．学习本节内容时，要善于运用平面几何知识以及平面向量知识证明正弦定理； 5．应熟练掌握利用正弦定理进行三角形中的边角关系的相互转化。 课堂讲解 正弦定理的提出和证明 （1）几何法 在直角三角形和等边三角形中，容易验证 a sin A ＝ b sin B ＝ c sin C 成立，这一结论对更一般锐角三角形和 钝角三角形还成立吗？ 在锐角△ ABC 中，根据右图证明： a sin A ＝ b sin B ＝ c sin C ； 证明：根据三角函数的定义， sin A＝ CD b ，sin B＝ CD a ； ∴CD＝bsin A＝asin B．∴ a sin A ＝ b sin B ； ∴CD＝bsin A＝asin B．∴ a sin A ＝ b sin B ； ∴ a sin A ＝ b sin B ＝ c sin C 成立。 在钝角△ ABC 中(不妨设 A 为钝角)， 根据右图证明： a sin A ＝ b sin B ＝ c sin C ； 证明：过 C 作 CD⊥AB，垂足为 D，D 是 BA 延长线上一点，根据正弦函数的定义知： CD b ＝sin∠CAD＝sin(180°－A)＝sin A， CD a ＝sin B； ∴CD＝bsin A＝asin B；∴ a sin A ＝ b sin B ； 同理， b sin B ＝ c sin C .故 a sin A ＝ b sin B ＝ c sin C 。 综上可知，对于任意三角形，均有 a sin A ＝ b sin B ＝ c sin C ，此即正弦定理。 “子墨课堂”态度决定一切 强势来袭，王者归来！ 正弦定理的几何解释 如图所示，在 Rt△ ABC 中，斜边 c 等于 Rt△ ABC 外接圆的直径 2R，故有 a sin A ＝ b si