辽宁省沈阳市东北育才学校高中部2017届高三第五次模拟数学（理）试题

东北育才学校高中部2017届高三第五次模拟数学试题（理科） 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求. 1.D 2.A 3.C 4.C 5.D 6.D 7.A 8.A 9.B 10.C 11.B 12.B 二.填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13.5 14.722 15. 跑步 16.4 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.解：（Ⅰ）∵ ， ， ∴ ，即 ， …………3分 ∵ ∴ . …………6分 （Ⅱ）∵ ， ∴ ， …………9分 由 得 ， ∴函数 的单调减区间为 . …………12分 18.解:（Ⅰ）设E为BC的中点，连接 由题意得 所以 因为 ，所以 故 …………3分 由D，E分别为 ，BC的中点，得 ， 从而 ，所以四边形 为平行四边形 故 ,又因为 所以 …………5分 （Ⅱ）以CB的中点E为原点，分别以射线EA，EB为x，y轴 的正半轴，建立空间直角坐标系Exyz,如图所示由题意知各点坐标如下: EMBED Equation.DSMT4 所以 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 …………6分 设平面 的法向量为 ，平面 的法向量为 由 ，即 可取 …………8分 由 ，即 可取 …………10分 于是 由题意可知，所求二面角的平面角是钝角， 故二面角 的平面角的余弦值为 ……………………12分 19. （Ⅰ）解：由于这人中，有名学生成绩等级为， 所以可以估计该校学生获得成绩等级为的概率为………………2分 则该校高二年级学生获得成绩为的人数约有………………3分 （Ⅱ）由于这名学生成绩的平均分为: …………………………4分 且，因此该校高二年级此阶段教学未达标………………………………6分 (III)成绩为、的同学分别有人，人， 所以按分层抽样抽取人中成绩为的有人，成绩为的有人……………7分 则由题意可得：，， ，…………………………10分 所以……………………………12分 20.解：（Ⅰ）证明：设P（x0，y0），则 ． 所以直线PA与PB的斜率乘积为 . …………4分 （Ⅱ）依题直线 的斜率乘积为 ． ①当直线 的斜率不存在时，直线 的斜率为 ， 设直线 的方程是 ，由 得 ， ． 取 ，则 ．所以 的面积为 ．…………6分 ②当直线 的斜率存在时，设直线 的方程是 ， 由 得 ． 因为 在椭圆 上， 所以 解得 ． 设 ，则 ， = 设点 到直线 的距离为 ，则 ． 所以 的面积为 …①． …………8分 因为 ，直线 的斜率乘积为 ，所以 ． 又 . 所以 ．…② …………10分 由①②，得 ． 综上所述, ． …………12分 21.(I)的定义域为， 则 ,又 所求切线方程为 . ……………2分 (II),令, ,令,, , ,. (2), 以下论证. , , , 综上所述，的取值范围是 ………………8分 （Ⅲ）原问题等价于证明:当时, . 法1:设 则 , 设 则 , ,即 单调递增 故 单调递增, , 在 单调递增, EMBED Equation.DSMT4 . ………………12分 法2:由(II)得, , 若证 ,只需证 设 ,而 ,所以 , 即 成立. ………………12分 22.（1）直线的极坐标方程为 ，………………………………2分 曲线的普通方程为，又， 所以曲线的极坐标方程为…………………………5分 （2）设，则有，解得………………7分 设，则有，解得……………9分 所以……………………………………………………………10分 23.解：（Ⅰ）因为 所以 ，即 ， 所以实数 的取值范围为 ．