第5讲 立体几何大题(复习课）(学霸满分练)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

第5讲 立体几何大题 题型一、“中位线”法证明线面平行 1．如图，在三棱柱中，侧棱底面ABC，，D为AC的中点，，. (1)求证：平面； (2)求三棱柱的表面积 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】（1）连接交于点，连接，可证得∥，然后利用线面平行的判定定理可证得结论， （2）由已知条件可得三个侧面是矩形，两个底面为直角三角形，然后根据已知的数据可求得答案 【详解】（1）证明：连接交于点，连接， 因为四边形为矩形， 所以为的中点， 因为，D为AC的中点，所以∥， 因为平面，平面， 所以平面； （2）因为侧棱底面ABC， 所以三棱柱为直三棱柱， 所以侧面均为矩形， 因为，所以底面均为直角三角形， 因为，，所以, 所以三棱柱的表面积为 2．如图，正四棱锥的高，，，为侧棱的中点． (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】（1）由中位线的性质可得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立； （2）计算出点到底面的距离以及的面积，再利用锥体的体积公式可求得三棱锥的体积. 【详解】（1）证明：因为四边形为正方形，，则为的中点， 因为为的中点，则， 又因为平面，平面，所以，平面. （2）解：在正四棱锥中，为底面的中心，则底面， 因为为的中点，则点到平面的距离为， ， 因此，. 3．如图，在棱长为4的正方体中，E为的中点，F为AE的中点． (1)求证：平面BDF； (2)求三棱锥E-BDF的体积． 【答案】(1)证明见解析；(2). 【分析】（1）连接AC交BD于O ，连接FO，利用中位线定理及线面平行判定定理即得； （2）由题可得，然后利用棱锥体积公式即得. 【详解】（1）连接AC交BD于O ，连接FO， 因为F为AE的中点，又O为AC的中点， 则FO是△ACE的中位线，所， 又因为面BDF，且平面BDF， 所以平面BDF． （2）在正方体中，棱长为4，，，， 则． 所以三棱锥E-BDF的体积为． 题型二、“平行四边形”法证明线面平行 4．如图，在正方体中，与交于点，求证： (1)直线平面； (2)直线平面． 【分析】(1)根据题意，先证得四边形是平行四边形，从而证得，即可证得线面垂直； (2)连接BD，交AC于O，连接，只需证明，即可证得线面垂直； 【详解】（1）证明：直线在平面外，因为， 所以四边形是平行四边形，所以， 而是平面内的直线，根据判定定理可知，直线平面． （2）证明：如图，连接BD，交AC于O，连接，易知， 则四边形是平行四边形，所以， 所以在平面上，根据判定定理可知，平面． 5．如图，直四棱柱的底面是菱形，E，M，N分别是BC，，的中点，求证：平面. 【分析】连接，ME，首先证明四边形是平行四边形，得到，则四边形MNDE是平行四边形，则，再利用线面平行的判定即可证明. 【详解】连接，ME， ∵M，E分别是，BC的中点， ∴，且， ∵N为的中点，∴. ，， 所以， ∴四边形是平行四边形， ∴，∴， ∴四边形MNDE是平行四边形， ∴，又平面，平面， ∴平面. 6．如图，三棱锥中，，分别是，的中点． (1)求证：平面； (2)若，，，，，，求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】（1）分别取的中点为，连结.可证明四边形为平行四边形，，然后即可根据线面平行的判定定理得出证明； （2）在中，根据余弦定理求得.进而在中，根据勾股定理得出.结合已知条件，根据线面垂直的判定定理即可得出平面.根据面积公式求出的面积，即可根据棱锥的体积公式得出答案. 【详解】（1）   如图，分别取的中点为，连结. 因为分别为的中点， 所以，，且，，， 所以，且. 所以，四边形为平行四边形， 所以，. 因为平面，平面， 所以，平面. （2）由已知可得，在中，有，，， 根据余弦定理可知，， 所以，. 在中，有， 所以，，. 因为，平面，平面，， 所以，平面. 又， 所以，. 题型三、“构造面面平行”法证明线面平行 7．已知点，分别是正方形的边，的中点.现将四边形沿折起，如图所示.若点，分别是，的中点，求证：平面. 【答案】证明见解析. 【分析】连接，设点为的中点，连接，，则可证和，从而证得平面和平面，则平面平面，即可证平面. 【详解】证明：如图，连接，设点为的中点，连接，， 在中，因为点为的中点，点为的中点， 所以. 因为平面，平面，所以平面. 同理可证得， 又因为，分别为正方形的边，的中点， 故，所以. 因为平面，平面，所以平面. 又因为，平面，平面， 所以平面平面. 又因为平面，所以平面. 8．如图，在三棱柱中，⊥平面，，是等边三角形，分别是棱的中点．证明：平面． 【答案】证明见解析 【分析】由线线平行证明面面平行，再由面面平行证明线面平行； 【详解】   连接BD. 因为E，F分别是棱AC，BC的中点，所以. 因为平面，平面，所以平面. 因为D，F分别是棱，BC的中点，所以，， 所以四边形是平行四边形，则. 因为平面，平面，所以平面. 因为平面ABD，平面ABD，且，平面 所以平面平面， 因为平面ABD，所以平面. 9．（1）如图，在三棱柱中，是的中点．求证：平面； （2）如图，在三棱锥中，为的中点，为的中点，点在上，且．求证：平面． 【答案】（1）证明见解析.（2）证明见解析. 【分析】（1）运用线线平行证明线面平行即可. （2）运用面面平行判定定理证得面面，再运用面面平行性质可证得结果. 【详解】（1）如图所示， 证明：连接交于点G，连接DG，则G为的中点， 又因为D为的中点，所以， 又因为面，面，所以面. （2）如图所示， 证明：取AF的中点H，连接CH、MH， 又因为E为PC的中点，，M为AB的中点， 所以，， 又因为面，面，面，面， 所以面，面， 又因为，、面， 所以面面， 又因为面，所以面. 10．如图，中，，是正方形，平面平面，若、分别是、的中点．求证：平面； 【答案】证明见解析 【分析】如图，取的中点，连接．通过证明平面HGF平面ABC，即可证明结论. 【详解】证明：如图，取的中点，连接．   ，F分别是和BD的中点，BC，HFDE． 又四边形为正方形，，从而． 平面ABC，平面ABC，平面ABC. 同理平面ABC，又.平面平面. ∵平面，则平面ABC； 题型四、利用线面/面面平行的性质证明线线平行 11．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，，AB=2CD，设平面PAD与平面PBC的交线为l，PA，PB的中点分别为E，F，证明：平面DEF． 【分析】延长AD，BC交于点M，根据线面平行判定定理证明平面DEF，然后根据线面平行性质证明平面DEF． 【详解】证明：延长AD，BC交于点M，因为，AB=2CD， 所以D为AM的中点，因为PA的中点为E，所以， 因为平面DEF，平面DEF，所以平面DEF， 又P，平面PAD，P，平面PBC， 所以平直平面PBC=PM，即直线l为直线PM． 所以平面DEF． 12．如图，在四棱锥中，底面是菱形，分别为，，的中点. （1）求证：平面； （2）记平面与底面的交线为，试判断直线与平面的位置关系，并证明. 【答案】（1）证明见解析；（2）直线面，证明见解析. 【分析】（1）证明，利用线面平行的判定定理即可求证； （2）由三角形中位线性质可得：，可证明面，由线面平行的性质定理可得，由线面平行的判定定理即可证明直线面. 【详解】（1）因为分别为，的中点，所以， 因为底面是菱形，所以，所以， 因为平面，平面， 所以平面， （2）直线与平面平行，证明如下： 因为分别为，的中点， 所以， 因为面，面，所以面， 因为平面与底面的交线为，面， 由线面平行的性质定理可得， 因为，所以， 因为面，面， 所以直线面. 13．如图，平面，平面，，求证： 【答案】证明见解析 【分析】根据题意，先证明平面平面，进而利用面面平行的性质定理即可得到答案. 【详解】由题意，平面，平面，∴平面， 又平面，，∴平面平面， 而平面平面，平面平面，∴. 14．如图，P为平行四边形所在平面外一点，，分别是，的中点，平面平面于直线. （1）判断与平面的位置关系，并证明你的结论； （2）判断与的位置关系，并证明你的结论. 【答案】（1）平面，证明见解析；（2），证明见解析. 【分析】（1）取PD中点E，连接AE，NE，可得，且，又M为AB中点，可得，且，所以四边形AMNE为平行四边形，可得，根据线面平行的判定定理，可证平面. （2）根据线面平行的判定定理，可证平面，又平面PBC，结合题意，根据线面平行的性质定理，可证. 【详解】（1）平面，证明如下： 取PD中点E，连接AE，NE， 因为N，E分别为PC，PD中点， 所以，且， 又M为AB中点，，， 所以，且， 所以四边形AMNE为平行四边形， 所以， 又平面，平面， 所以平面. （2），证明如下： 因为，平面，平面， 所以平面， 又平面PBC，且平面平面， 根据线面平行的性质定理可得. 15．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，N，M，Q分别为PB，PD，PC的中点． (1)求证：QN平面PAD； (2)记平面CMN与底面ABCD的交线为l，试判断直线l与平面PBD的位置关系，并证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)l平面PBD，证明见解析 【分析】（1）推导出QNAD，由此能证明QN平面PAD； （2）连接BD，则MNBD，从而MN平面ABCD，由线面平行的性质得MNl，从而BDl，由此能证明l平面PBD． 【详解】（1）证明：∵底面ABCD是菱形，N，M，Q分别为PB，PD，PC的中点． ∴QNBC，BCAD，∴QNAD， ∵QN平面PAD，AD⊂平面PAD， ∴QN平面PAD； （2）直线l与平面PBD平行，证明如下： ∵M，N分别为PD，PB的中点， ∴MNBD， ∵BD⊂平面ABCD，MN平面ABCD， ∴MN平面ABCD， ∵平面CMN与底面ABCD的交线为l， ∴由线面平行的性质得MNl， ∵MNBD，∴BDl， ∵，且BD⊂平面PBD，平面PBD， ∴l平面PBD． 五、证明面面平行 16．如图，已知四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，点M、N、Q分别是PA、BD、PD的中点.求证： (1)平面PCD； (2)平面平面PBC． 【分析】(1)利用三角形中位线证明MN∥PC即可； (2)利用中位线证明NQ∥PB，结合(1)中结论即可证明． 【详解】（1）由题意，四棱锥的底面ABCD为平行四边形，点M、N、Q分别是PA、BD、PD的中点，∴N是AC的中点，∴， ∵平面PCD，平面PCD， ∴平面PCD； （2）由(1)知，平面PBC，平面PBC， ∴MN∥平面PBC， ∵ABCD为平行四边形，∴N是BD中点，又∵Q是PD中点， ∴在△PBD中，NQ∥PB， ∵PB平面PBC，NQ平面PBC，∴NQ∥平面PBC， ∵MN∩NQ=N，MN、NQ平面MNQ， ∴平面平面PBC． 17．如图所示，在三棱柱中， 分别是，，的中点，求证： (1)平面； (2)平面平面． 【分析】（1）根据线面平行的判定定理即可证明结论； （2）先证明平面，再证明平面,根据面面平行的判定定理即可证明结论. 【详解】（1）证明：∵分别是的中点， ∴, 又在三棱柱中，， 所以． 又平面， 平面， 所以平面. （2）证明：由（1）知，平面，平面， ∴平面， 又∵分别为中点， 故，, 又∵，∴, ∴四边形为平行四边形， ∴, 又∵平面，平面， ∴平面, 又∵平面, ∴平面平面． 18．如图：在正方体中，为的中点. (1)求三棱锥的体积； (2)求证：平面； (3)若为的中点，求证：平面平面. 【分析】（1）根据锥体的体积公式计算即可； （2）根据线面平行的判定进行证明； （3）根据面面平行的的判定进行证明. 【详解】（1）显然平面，于是. （2） 设，连接， 在正方体中，四边形是正方形，是中点， 是的中点，， 平面平面平面； （3）为的中点，为的中点， ， 四边形为平行四边形，， 又平面平面平面， 由（2）知平面平面平面， 平面平面. 题型六、证明线面垂直 19．如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1. （1）证明：BE⊥平面EB1C1； （2）若AE=A1E，AB=3，求四棱锥的体积． 【答案】（1）见详解；（2）18 【分析】（1）先由长方体得，平面，得到，再由，根据线面垂直的判定定理，即可证明结论成立； （2）先设长方体侧棱长为，根据题中条件求出；再取中点，连结，证明平面，根据四棱锥的体积公式，即可求出结果. 【详解】（1）因为在长方体中，平面； 平面，所以， 又，，且平面，平面， 所以平面；     （2）[方法一]【利用体积公式计算体积】 如图6，设长方体的侧棱长为，则． 由（1）可得．所以，即． 又，所以，即，解得． 取中点F，联结，因为，则，所以平面， 从而四棱锥的体积： ． [方法二]【最优解：利用不同几何体之间体积的比例关系计算体积】 取的中点F，联结．由（Ⅰ）可知， 所以．故． 【整体点评】(2)方法一：利用体积公式计算体积需要同时计算底面积和高，是计算体积的传统方法； 方法二：利用不同几何体之间的比例关系计算体积是一种方便有效快速的计算体积的方法，核心思想为等价转化. 20．如图，在四棱锥中，四边形为梯形，，， （1）若为中点，证明：面 （2）若点在面上投影在线段上，，证明：面. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】（1）取中点为，连接，，四边形为平行四边形，所以，利用线面平行的性质定理即可证明； （2）利用勾股定理证明，设点在面上投影在线段上设为点，再利用已知条件证明，利用线面垂直的判断定理即可证明. 【详解】 （1）取中点为，连接，， 则为中位线， 且， 又四边形是直角梯形， ， 且，四边形为平行四边形，所以， 因为面，面，所以面. （2）在四棱锥中，四边形是直角梯形，，， ，， 设点在面上投影在线段上，设为点， 面，面，， 又，，面. 【点睛】方法点睛：证明直线与平面平行的常用方法 （1）定义法：证明直线与平面没有公共点，通常要借助于反证法来证明； （2）判定定理：在利用判断定理时，关键找到平面内与已知直线平行的直线，常考虑利用三角形中位线、平行四边形的对边平行或过已知直线作一平面，找其交线进行证明； 21．如图，中，，是正方形，平面平面，若、分别是、的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面. 【分析】（1）作出辅助线，得到面面平行，从而得到线面平行； （2）由面面垂直得到线面垂直，进而得到线线垂直，结合勾股定理逆定理得到线面垂直. 【详解】（1）证明：如图，取的中点，连接，． ，分别是和的中点， ，． 又四边形为正方形， ，从而． 平面，平面， 平面， 同理平面，又， 平面平面， ∵平面，则平面； （2）为正方形，． 又平面平面，且平面平面，面， 平面，平面，则， ，， ，则，得． 又，平面，平面； 22．如图，正方形ABCD与平面BDEF交于BD，平面ABCD，平面ABCD，且. (1)求证：平面AEC； (2)求证：平面AEC. 【分析】（1）根据题意，由条件可证四边形BOEF为平行四边形，则，再由线面平行的判定定理即可证明； （2）根据题意，先由线面垂直的判定定理可证平面BDEF，从而可得，即可得到证明. 【详解】（1）   如图，设AC与BD交于点O，则O为正方形ABCD的中心，连接OE，不妨令. 则. ∵四边形ABCD为正方形，∴. ∵平面ABCD，且平面平面，面， ∴， ∴，，即四边形BOEF为平行四边形， ∴. 又平面AEC，平面AEC， ∴平面AEC. （2）连接OF. ∵，且，，∴四边形ODEF为菱形. ∵平面ABCD， ∴四边形ODEF为正方形，∴. 又四边形ABCD为正方形， ∴. ∵平面ABCD，平面ABCD， ∴. 而，且平面BDEF，平面BDEF， ∴平面BDEF. ∵平面BDEF， ∴. 又，OE，平面AEC， ∴平面AEC. 题型七、证明面面垂直 23．如图，在直三棱柱中，，G是棱的中点． (1)证明：； (2)证明：平面平面． 【分析】（1）由线面垂直得到，从而求出平面，得到； （2）根据正方形得到，结合第一问求出的，得到平面，从而证明面面垂直. 【详解】（1）∵平面，且平面， ∴． 又因为，平面， 所以平面． ∵平面， ∴． （2）∵，易知矩形为正方形， ∴． 由（1）知，又由于平面， ∴平面． 又∵平面，∴平面平面． 24．如图，在四棱锥中，平面ABCD，底部ABCD为菱形，E为CD的中点. （Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC； （Ⅱ）若∠ABC=60°，求证：平面PAB⊥平面PAE； （Ⅲ）棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？说明理由. 【分析】(Ⅰ)由题意利用线面垂直的判定定理即可证得题中的结论； (Ⅱ)由几何体的空间结构特征首先证得线面垂直，然后利用面面垂直的判断定理可得面面垂直； (Ⅲ)由题意，利用平行四边形的性质和线面平行的判定定理即可找到满足题意的点. 【详解】（Ⅰ）证明：因为平面,所以； 因为底面是菱形，所以; 因为,平面, 所以平面. （Ⅱ）证明：因为底面是菱形且，所以为正三角形，所以, 因为,所以； 因为平面，平面, 所以； 因为 所以平面， 平面,所以平面平面. （Ⅲ）存在点为中点时，满足平面；理由如下: 分别取的中点，连接, 在三角形中，且； 在菱形中，为中点，所以且，所以且，即四边形为平行四边形，所以; 又平面，平面，所以平面. 【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，立体几何中的探索问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 25．在直角梯形中（如图一），，，.将沿折起，使（如图二）.    (1)求证：平面平面； (2)设为线段的中点，求点到直线的距离. 【分析】（1）首先取的中点，连接，根据题意易证平面，从而得到，即可得到平面，再根据面面垂直的判定即可证明平面平面. （2）首先取的中点，连接，易证平面，从而得到，再计算的长度即可. 【详解】（1）取的中点，连接，如图所示： 因为，， 则四边形为正方形，所以， 因为，所以. 因为，，，平面， 所以平面. 又因为平面，所以. 因为，，，平面， 所以平面， 又因为平面，所以平面平面. （2）取的中点，连接， 因为平面，，所以平面， 又因为平面，所以. 因为，所以. 因为，，，平面， 所以平面， 又因为平面，所以. 因为，，且， 所以， 即点 E 到直线 CD 的距离为. 题型八、利用面面垂直的性质解题 26．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，侧面平面，求证：. 【分析】根据题意，结合勾股定理证得，再利用面面垂直的性质定理，证得平面，即可得到. 【详解】证明：因为，可得 设，可得，，所以， 因为，可得， 所以，所以， 因为平面平面，平面平面，且平面， 所以平面， 又因为平面，所以. 27．如图，在四棱锥中，底面ABCD是菱形，且，为等边三角形，G为边AD的中点，平面平面ABCD. (1)求证：平面PAD； (2)若E为边BC的中点，在边PC上是否存在点F，使平面平面ABCD？证明你的结论. 【分析】（1）应用面面垂直的性质定理得出线面垂直即可； （2）当F为PC的中点时，满足平面平面ABCD.利用平面平面ABCD，可得平面ABCD，通过平行证明线面垂直，可得平面平面ABCD. 【详解】（1）如图，连接BD，因为底面ABCD是菱形，所以，又因为，所以是等边三角形. 因为G为边AD的中点，所以. 因为平面平面ABCD，平面平面，平面BAD，， 所以平面PAD. （2）存在点F，且F为PC的中点. 证明如下：取PC的中点F，连接DF，EF，EG，CG，DE，PG，且CG与DE交于点M，连接FM. 因为且，E，G分别是BC，AD的中点，所以，且. 则四边形CEGD是平行四边形，所以. 又因为，所以. 因为是等边三角形，G是AD的中点，所以. 又因为平面平面ABCD，平面平面， 所以平面ABCD，所以平面ABCD. 又平面DEF，所以平面平面ABCD. 28．如图，在矩形ABCD中，E为BC的中点，现将与折起，使得平面BAE和平面CDE都与平面DAE垂直.求证：平面DAE. 【分析】先根据面面垂直性质定理得出线面垂直,进而得出线线平行,再得出平行四边形，最后应用线面平行判定定理可得. 【详解】过点B作于M，过点C作于N，连接MN. ∵平面BAE与平面DAE垂直，平面平面，，平面BAE， ∴平面DAE， 同理可证平面DAE，∴. 又知与全等，∴， ∴四边形BCNM是平行四边形，∴. 又平面DAE，平面DAE， ∴平面DAE. 题型九、“等体积法”求点到平面的距离 29．在三棱锥中，底面ABE，AB⊥AE，，D是AE的中点，C是线段BE上的一点，且，连接PC，PD，CD. (1)求证：平面PAB； (2)求点E到平面PCD的距离. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】（1）通过证明来证得平面. （2）通过等体积法求得点E到平面PCD的距离. 【详解】(1)因为，所以. 又，. 所以在中，由勾股定理，得. 因为，所以是的斜边BE上的中线. 所以C是BE的中点. 又因为D是AE的中点，所以直线CD是的中位线， 所以. 又因为平面PAB，平面PAB，所以平面PAB. (2)由（1）得，. 又因为，. 所以. 又因为，所以. 由题意得，且，所以. 设点E到平面PCD的距离为d，则由 得，即，解得. 故点E到平面PCD的距离为. 30．在四棱锥中，，，，，为等边三角形，． (1)证明：平面平面PBC； (2)求点C到平面PAB的距离． 【答案】(1)证明见解析；(2)1 【分析】（1）作出辅助线，由余弦定理得到，由勾股定理逆定理得到，找到为二面角的平面角，且，得到平面平面ABCD，进而由四边形ABCE为矩形得到线面垂直，进而证明平面平面PBC； （2）作出辅助线，由等体积法求出点到平面的距离. 【详解】（1）证明：取CD的中点E，连接PE，AE，如图， 易知，，， 在中，由余弦定理得，， 则，故， 由，，，同理可得且， 故为二面角的平面角， 又，则，故，故平面平面ABCD， 又CE与AB平行且相等，且，则四边形ABCE为矩形， 故．又平面ABCD，平面平面， 故平面PCD，又平面PBC，则平面平面PBC． （2）连接AC，设C到平面PAB的距离为h， 由（1）得平面平面PCD，，由面面垂直的性质定理，同理可得平面ABCD， ，即， ∵，，，，平面AEP，则平面AEP， 又，故平面AEP，平面AEP，故， 故，故，解得． 31．如图所示，在四棱锥中，，为棱的中点，，，平面平面． (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】（1）由平面平面，可得平面，进而得，再利用勾股定理证得，根据线面垂直判定定理可证明结论. （2）利用等积法, 可求点到平面的距离. 【详解】（1）因为，，， 所以且． 而，故四边形为矩形，则． 因为平面平面，且平面平面， 所以平面． 又平面，平面，故且． 因为，，， 所以，即． 而，故平面． （2）记点到平面的距离为． 如图，过点作，垂足为，则平面． 因为，故． 因为平面，所以． 所以，． 因为，即，故． 题型十、“转顶点法”求三棱锥的体积 32．如图，在正四棱锥中，，，、、分别为中点.    (1)求证：平面； (2)三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】（1）通过证明得到平面； （2）先求得，通过体积转化得，求得 【详解】（1）证明： 连接， ∵四边形为正方形，、分别为中点，∴，     又五点共面，平面，平面，     ∴平面， （2） 在正四棱锥中，连接交于点，连接， 则平面，又平面，所以， 所以， ，     因为，为中点. 所以 ， 故. 33．如图，在平行四边形中，，，以为折痕将△折起，使点到达点的位置，且． （1）证明：平面平面； （2）为线段上一点，为线段上一点，且，求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析；(2)1. 【分析】(1)根据题意可得，又 BA⊥AD，利用线面垂直的判定定理证得AB⊥平面ACD，再根据面面垂直的判定定理即可证得； (2)方法一：根据平面知识求出，再求得三棱锥的高，即可根据三棱锥的体积公式求出. 【详解】（1）由已知可得，=90°，． 又BA⊥AD，且，所以AB⊥平面ACD． 又AB平面ABC，所以平面ACD⊥平面ABC． （2）［方法一］：定义法 由已知可得，DC=CM=AB=3，DA=．又，所以． 作QE⊥AC，垂足为E，则． 由已知及（1）可得DC⊥平面ABC，所以QE⊥平面ABC，QE=1． 因此，三棱锥的体积为 ． ［方法二］：转化法 由（1）知，，又，所以平面，则．因为，所以．因为，所以． 【整体点评】（2）方法一：根据三棱锥的体积公式求底面积和高，是求三棱锥体积的通性通法； 方法二：根据题目的等量关系转化为求易求的三棱锥体积，也是求三棱锥体积的通性通法． 34．如图，直三棱柱中，，，，P为线段上的动点． (1)当P为线段上的中点时，求三棱锥的体积； (2)当P在线段上移动时，求的最小值． 【答案】(1)；(2)． 【分析】（1）由余弦定理求出，即可求出的面积，再由等体积法求解即可； （2）根据平面展开图可确定的最小值即长，由三角形余弦定理求解即可. 【详解】（1）由已知可得， 由余弦定理有，得到． 在中，有， ． （2）将绕旋转到与同一平面（如图所示）， 连接交于点，此时取得最小值，最小值即长． 在中，，，， 故，故，即， 又易知，故， 由余弦定理得，所以， （或者在中由勾股定理得） 故的最小值为． 题型十一、立体几何大题存在性问题 35．如图，正三棱柱中，，点M为的中点．在棱上是否存在点Q，使得AQ⊥平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】存在， 【分析】根据条件先判定平面平面，从而确定Q的位置，利用相似即可确定线段之比. 【详解】在正三棱柱中，因为点为的中点，则， 又平面，平面，则有， 而平面， 于是平面，平面，则平面平面， 在平面内过点作交于点， 平面平面，因此平面， 于是点即为所要找的点， 如下图所示，显然，因此， 即有，于是，，所以. 36．如图所示，正四棱锥P—ABCD的各棱长均为13，M为PA上的点，且PM∶MA=5∶8. (1)在线段BD上是否存在一点N，使直线MN平面PBC？如果存在，求出BN∶ND的值，如果不存在，请说明理由； (2)假设存在满足条件（1）的N点，求线段MN的长. 【答案】(1)存在，；(2)7 【分析】（1）根据平行线的比例性质得出，从而证明，得到线面平行； （2）根据比例可求的长，结合余弦定理可求的长，然后利用比例关系可得的长. 【详解】（1）存在，；理由如下： 连接并延长，交于，连接. 因为正方形中，，所以; 又因为，所以； 平面，平面，所以平面. （2）由（1）得，所以； 中， ，所以； 因为，所以 所以. 37．如图所示，在三棱柱中，分别是线段的中点. （1）在线段上是否存在一点，使直线平面？ （2）在问题（1）中，若存在点，则点在什么位置？如何证明你的结论？ 【答案】（1）存在点；（2）的中点，见解析 【解析】（1）根据图形关系可得，存在这样的点； （2）为线段的中点，连接，设为与的交点，证明即可得证. 【详解】（1）存在，为线段的中点； （2）为线段的中点，如图，取线段的中点，连接，设为与的交点，则为的中点. 连接，则分别为的中位线，所以，且且，因此. 连接，从而四边形为平行四边形，则.因为直线平面平面，所以直线平面.所以线段上存在一点（线段的中点），使直线平面. 【点睛】此题考查补齐条件证明线面平行，证明的过程中可以通过构造平行四边形证得线线平行，也可以通过中位线得线线平行. 34 / 34 学科网（北京）股份有限公司 $