2017春北师大版九年级数学下册:第三单元 小专题 复习 （4份打包）

小专题(八)　与圆的性质有关的计算与证明 1．如图，在⊙O中，直径AB⊥CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD.求∠D的度数． 2．(南京中考)如图，A，B是⊙O上的两个定点，P是⊙O上的动点(P不与A，B重合)，我们称∠APB是⊙O上关于点A，B的滑动角．已知∠APB是⊙O上关于点A，B的滑动角， (1)若AB是⊙O的直径，则∠APB＝____________； (2)若⊙O的半径是1，AB＝，求∠APB的度数． [来源:学科网ZXXK] 3．如图，AB是⊙O的直径，C，D两点在⊙O上，若∠C＝45°. (1)求∠ABD的度数； 若∠CDB＝30°，BC＝3，求⊙O的半径． 4．如图，在⊙O中，半径OA⊥弦BC，点E为垂足，点D在优弧上． (1)若∠AOB＝56°，求∠ADC的度数； (2)若BC＝6，AE＝1，求⊙O的半径． 5．(深圳中考)如图所示，该小组发现8米高旗杆DE的影子EF落在了包含一圆弧形小桥在内的路上，于是他们开展了测算小桥所在圆的半径的活动．小刚身高1.6米，测得其影长为2.4米，同时测得EG的长为3米，HF的长为1米，测得拱高(弧GH的中点到弦GH的距离，即MN的长)为2米，求小桥所在圆的半径． 6.(安徽中考)在⊙O中，直径AB＝6，BC是弦，∠ABC＝30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ. (1)如图1，当PQ∥AB时，求PQ的长度； [来源:学#科#网] 如图2，当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值． 7．(聊城中考)如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，交斜边AC于点D，点E为OB的中点，连接CE并延长交⊙O于点F，点F恰好落在的中点，连接AF并延长与CB的延长线相交于点G，连接OF. (1)求证：OF＝BG； （2）若AB=4，求DC的长. 8．如图，在△ABC中，AB＝BC＝2，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC于点D，E，且点D为BC的中点． (1)求证：△ABC为等边三角形； (2)求DE的长；[来源:学&科&网] (3)在线段AB的延长线上是否存在一点P，使△PBD≌△AED，若存在，请求出PB的长；若不存在，请说明理由． 参考答案 1．∵在⊙O中，D为圆上一点， ∴∠AOC＝2∠D. ∴∠EOF＝∠AOC＝2∠D. 在四边形FOED中，∠OFD＋∠D＋∠DEO＋∠EOF＝360°， ∴90°＋∠D＋90°＋2∠D＝360°. ∴∠D＝60°. 2．(1)90°　 (2)连接OA，OB，AB. ∵⊙O的半径是1，即OA＝OB＝1， 又∵AB＝， ∴OA2＋OB2＝AB2， 由勾股定理的逆定理可得∠AOB＝90°. ∴∠APB＝∠AOB＝45°. 3．(1)∵∠C＝45°， ∴∠A＝∠C＝45°. ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°. ∴∠ABD＝45°. (2)连接AC. ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°. ∵∠CAB＝∠CDB＝30°，BC＝3， ∴AB＝6. ∴⊙O的半径为3. 4．(1)∵OA⊥BC， ∴. ＝ ∴∠ADC＝∠AOB. ∵∠AOB＝56°， ∴∠ADC＝28°. (2)∵OA⊥BC， ∴CE＝BE. 设⊙O的半径为r，则OE＝r－1，OB＝r， 在Rt△BOE中，OE2＋BE2＝OB2， ∵BE＝3，则32＋(r－1)2＝r2.解得r＝5. 5．由相似得， ＝ 解得EF＝12. ∵EG＝3，HF＝1， ∴GH＝EF－EG－HF＝8. 由垂径定理，得GM＝GH＝4. 又MN＝2， 设半径OG＝R，则OM＝R－2. 在Rt△OMG中，由勾股定理，得OM2＋MG2＝OG2. ∴(R－2)2＋42＝R2. 解得R＝5. 答：小桥所在圆的半径为5米． 6．(1)连接OQ. ∵PQ∥AB，PQ⊥OP， ∴OP⊥AB. ∵AB＝6， ∴OB＝3. ∵∠ABC＝30°， ∴PB＝2OP. 在Rt△PBO中，PB2＝OP2＋OB2.[来源:学*科*网Z*X*X*K] 设OP＝x，则PB＝2x.则(2x)2＝x2＋32. 解得x＝， ∴OP＝. 由勾股定理，得PQ＝.＝＝ (2)连接OQ. 由勾股定理，得PQ＝. ＝ 要使PQ取最大值，需OP取最小值，此时OP⊥BC. ∵∠ABC＝30°， ∴OP＝， OB＝ 此时PQ最大＝.＝ 7．(1)证明：∵以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，点F恰好落在的中点， ∴. ＝ ∴∠AOF＝∠BOF. ∵∠ABC＝∠ABG＝90°， ∴∠AOF＝∠ABG. ∴FO∥BG. ∵AO＝BO， ∴FO是△ABG的中位线．[来源:学_科_网Z_X_X_K] ∴FO＝BG. (2)在△FOE和△CBE中， ∴△FOE≌△CBE(ASA)． ∴BC＝OF＝AB＝2. ∴AC＝. ＝2 连接DB.∵AB为