专题10 圆 13大高频考点（期末真题汇编，辽宁专用）九年级数学上学期

专题10 圆 13大高频考点概览 考点01 点与圆的位置关系 考点02 弧、弦、角的关系 考点03 垂径定理 考点04 圆周角定理 考点05 圆内接四边形 考点06 直线与圆的位置关系 考点07 切线的判定 考点08 切线的性质 考点09 切线长定理 考点10 正多边形与圆 考点11 扇形的弧长与面积 考点12 圆锥问题的相关计算 考点13 圆相关最值问题 地 城 考点01 点与圆的位置关系 一、单选题 1．(24-25九上·辽宁大连中山区·期末)已知的半径为，，则点 与的位置关系是（   ） A．点在内 B．点在上 C．点 在外 D．不确定 【答案】A 【分析】此题主要考查了点与圆的位置关系，根据题意得的半径为，，则点到圆心的距离小于圆的半径，则根据点与圆的位置关系可判断点在内，掌握点与圆的位置关系，若，则点在圆上；若，则点在圆外；若，则点在圆内（即点到圆心的距离，即圆的半径）是解题的关键． 【详解】解：∵的半径为，， ∴， ∴点在内， 故选：． 2．(24-25九上·辽宁盘锦兴隆台区·期末)如图，在中，点A为的中点，，所在的平面内有一点D，若，则点D与的位置关系是（   ） A．点D在外 B．点D在上 C．点D在内 D．无法确定 【答案】A 【分析】先由点A为的中点，得出，即，从而可求得，再由证明是等边三角形，得出，然后根据，得到，即可由点与圆位置关系得出答案． 【详解】解：连接交于D，连接，如图， ∵点A为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴点D在外． 故选：A． 【点睛】本题考查垂径定理的推论，点与圆的位置关系，等边三角形的判定与性质，三角形内角和定理，求出圆的半径是解题的关键． 二、填空题 3．(23-24九上·辽宁鞍山·期末)如图所示，已知矩形ABCD的边，．以点A为圆心作圆，使B，C，D三点中至少有一点在圆外，且至少有一点在圆内，此圆半径R的取值范围是 ． 【答案】 【分析】使B、C、D三点至少有一个在圆内，且至少有一个在圆外，也就是说圆的半径不能小于AB,不能大于AC，可求得AC=5，所以3<r<5. 【详解】如图，连接AC， ∵ 在矩形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，∠ABC=90°，BD=AC， ∴AC=BD=， ∴AB<AD<AC， ∵B，C，D三点中至少有一点在⊙A内，且至少有一点⊙A在外， ∴点B一定在⊙A内，点C一定在⊙A外， ∴⊙A半径R的取值范围应大于AB的长，小于对角线AC的长，即3<R<5． 故答案为：3<R<5． 【点睛】本题考查确定点与圆的位置关系，解题的关键是掌握确定点到圆心的距离与半径的大小关系，设点与圆心的距离d，圆的半径为r，则d>r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d<r时，点在圆内． 地 城 考点02 弧、弦、角的关系 一、单选题 1．(24-25九上·辽宁大连金普新区·期末)如图，在中，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 首先得到，进而得到，即可选择正确选项． 【详解】解：， ， ， ∵， ． 故选：D． 二、解答题 2．(24-25九上·辽宁大连甘井子区·期末)如图，A，B，C，D是上的四个点，，与交于点M．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，根据圆心角、弧、弦的关系，由，得，所以，所以，根据等边对等角即可得出结论． 【详解】证明：∵， ∴． ∵， ∴． ∴．    ∴ 3．(24-25九上·辽宁大连西岗区·期末)如图，在中，弦、于点E，且．求证：．    【答案】见解析 【分析】本题考查圆的相关性质，解题的关键是利用在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等这一性质进行推理。 先根据已知弦相等得出弧相等，再通过弧的运算得到，最后根据弧与弦的关系得出弦相等。 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴. 地 城 考点03 垂径定理 一、单选题 1．(24-25九上·辽宁铁岭·期末)如图，在中，弦于点C，，，则的长为（   ） A．17 B．15 C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查垂径定理及勾股定理．利用垂径定理得到，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解： 弦于点C，， ， 又 ， ． 故选C． 2．(24-25九上·辽宁大连中山区·期末)如图，已知AB是⊙O的直径，CD是OO的弦，AB⟂CD．垂足为E．若AB=26，CD=24，则∠OCE的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据垂径定理求出，再根据余弦的定义进行解答即可． 【详解】解：∵AB是⊙O的直径，AB⟂CD． ∴，OC==13， ∴． 故选：B． 【点睛】此题考查的是垂径定理，锐角三角函数的定义，熟练掌握垂径定理，锐角三角函数的定义是解答此题的关键． 3．(24-25九上·辽宁盘锦兴隆台区·期末)如图1是一位摄影爱好者拍摄的含章湖大桥，它位于盘锦市辽东湾新区，是一座集交通枢纽和湖景于一体的跨湖桥，大桥采用了七跨上承式空腹拱桥的设计，分主拱和腹拱，其中腹拱为圆弧形拱圈．如图2，如果用表示腹拱，假设腹拱下面的桥面的长度为80米，腹拱的高度为20米，则该桥腹拱部分所在圆弧的半径是（   ） A．30米 B．40米 C．50米 D．60米 【答案】C 【分析】本题考查垂径定理与勾股定理的运算，熟练掌握垂径定理是解题的关键． 设圆弧的半径为x米，圆弧所在圆的圆心为O，先由垂径定理求得米，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：设圆弧的半径为x米，圆弧所在圆的圆心为O，如图， 则于D， ∴（米）， 在，米，米， 由勾股定理，得 解得：， 即圆弧的半径为50米， 故选：C． 4．(24-25九上·辽宁鞍山·期末)某输油管道运输时，油面最高位置如图所示，若油面最大深度为米时，污水横截面的宽度为米，则排水管的半径是（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键； 作于点，连接，利用勾股定理求解即可； 【详解】解：作于点，连接， 设排水管的半径为， ，， ， 根据勾股定理可知，， 即， 解得：； 故选：C 5．(24-25九上·辽宁葫芦岛·期末)如图，我市龙湾公园内有一座圆弧形拱桥，桥顶到水面的距离为，它的跨度也为，则桥拱半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理以及勾股定理解题的关键．连接，由垂径定理求出，设桥拱半径为r，根据勾股定理即可求出r， 【详解】解：连接， ∵， ∴， 设桥拱半径为r，则， 在中，， 即， 解得：， 故选：B． 6．(24-25九上·辽宁铁岭·期末)如图，在中，半径长为5，圆心到弦的距离，则弦的长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理．熟练掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键． 由题意知，，则，由勾股定理得，，进而可求． 【详解】解：由题意知，， ∴， 由勾股定理得，， ∴， 故选：C． 7．(24-25九上·辽宁盘锦大洼区·期末)如图，在中，，垂足为，为圆上一点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，先根据垂径定理得，进而得，再根据圆周角定理可得的度数． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 8．(24-25九上·辽宁沈阳浑南区东北育才学校·期末)如图，在半径为的中，点A是劣弧的中点，点D是优弧上一点，且，下列四个结论：①；②；③扇形的面积为；④四边形是菱形．其中正确结论的序号是（    ） A．①③ B．①②③④ C．②③④ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理、弧与圆心角的关系、扇形的面积、菱形的判定等知识，熟练掌握圆周角定理是解题关键．先根据弧与圆心角的关系可得，再根据等腰三角形的三线合一即可判断结论①正确；设交于点，根据垂径定理可得，根据圆周角定理可得，再利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性质可得的长，由此即可判断结论②错误；先求出，再利用扇形的面积公式即可判断结论③正确；先证出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，同理可得，再根据菱形的判定即可得判断结论④正确． 【详解】解：∵点是劣弧的中点， ∴， ∴， ∵， ∴（等腰三角形的三线合一），则结论①正确； 设交于点， ∴， ∵的半径为， ∴， 由圆周角定理得：， ∴， ∴， ∴， ∴，则结论②错误； ∵， ∴， ∴扇形的面积为，则结论③正确； ∵， ∴是等边三角形， ∴， 同理可得：， ∴， ∴四边形是菱形，则结论④正确； 综上，正确结论的序号是①③④， 故选：D． 9．(23-24九上·辽宁营口·期末)如图，拱桥可以近似地看作半径为的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，这些钢索中最长的一根的长度为，那么其正下方的路面的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理等知识；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．设圆弧的圆心为，过作于，交于，连接，由垂径定理得，再由勾股定理求出，然后求出的长即可． 【详解】解：设圆弧的圆心为，过作于，交于，连接，如图所示： 则，， ， ， ， 故选：C． 10．(23-24九上·辽宁铁岭西丰县·期末)已知：如图，是的直径，弦交于E点，，则的长为（    ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】如图，过点作于，根据已知条件求得勾股定理求得，由垂径定理可得，进而可得的长． 【详解】如图，过点作于， 则， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选A． 【点睛】本题考查了垂径定理，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，作出辅助线是解题的关键． 二、填空题 11．(24-25九上·辽宁大连庄河·期末)如图，⊙O的直径垂直于弦，垂足是，已知，，则的长为 . 【答案】 【分析】利用圆的垂径定理得CE=DE，利用圆周角定理∠BOC=45°，故OE=EC，利用勾股定理可得CE，最后可得CD的长． 【详解】解：∵直径AB垂直于弦CD，∴CE=DE=CD，∵∠A=22.5°，∴∠BOC=45°，∴OE=EC，设OE=CE=x，∵OC=2，∴ ，解得： ，∴CD= .故答案为. 【点睛】本题主要考查了圆的垂径定理和圆周角定理，利用勾股定理准确计算是解题的关键． 12．(23-24九上·辽宁盘锦兴隆台区第一完全中学·期末)一次综合实践的主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径？小聪同学所在的学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A，B，C，D四点，利用刻度尺量得该纸条宽为，，．请你帮忙计算纸杯的直径为 cm． 【答案】5 【分析】本题考查垂径定理的应用，勾股定理，由垂径定理求出的长，设，由勾股定理得到，求出x的值，得到的长，由勾股定理求出长，即可求出纸杯的直径长． 【详解】解：如图，，过圆心O，连接， ∴ ∵， ∴， ∴，， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴纸杯的直径为． 故答案为：5． 三、解答题 13．(24-25九上·辽宁盘锦大洼区·期末)辽宁省拥有多座历史悠久的石拱桥．如图，这是被誉为“关外第一桥”的天盛号石拱桥，它的主桥拱是圆弧形，跨度（弧所对的弦的长）为4米，圆弧所在圆的半径是米，求拱高（弧的中点到弦的距离）． 【答案】 【分析】本题考查的是垂径定理的应用和勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．过点O作于点D，交于点C，先由垂径定理求出的长，再根据勾股定理求出的长，进而可得出的长． 【详解】解：过点O作于点D，交于点C，如图所示： ∵， ∴， 由题意得：， 在中， ， ∴， 即拱高为． 14．(24-25九上·辽宁铁岭·期末)如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，且CD = 24 m．已测得水面距桥洞最高处有8m （即中点到CD的距离） （1）求半径OA； （2）根据需要，水面要以每小时0.5 m的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？ 【答案】（1）OA=13 （2）10小时 【分析】（1）过O作OF⊥CD于E，交于F，连结OC，利用垂径定理与勾股定理即可求出；（2）求得OE=5m，即可求出时间. 【详解】（1）过O作OF⊥CD于E，交于F，连结OC，则 CE=DE=12cm，EF=8cm 设OA=r 在Rt△COE中， 即： ∴ r =13  即OA=13 （2）OE=13-8=5m ∴ 5 ÷0.5="10" （小时） 答：经过10小时才可将水排干 15．(24-25九上·辽宁抚顺新抚区·期末)如图，为的直径，，点为圆上一点，为的中点，连接，过点作交于点，过点作，垂足为，． (1)求的长； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据垂径定理得，根据勾股定理求解即可； （2）根据题意得，，可证明，得到，计算即可得到答案． 【详解】（1）解：∵点是弦的中点， ∴，， ∵直径， ∴， 在中，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴ ∴， ， ， ， ， ， ， 由（1）知， ， ． 16．(24-25九上·辽宁大连嘉汇集团·期末)如图，是的弦，点D是的中点，连接并反向延长交干点C．若，求的半径． 【答案】5 【分析】本题主要考查垂径定理与勾股定理的运用．掌握垂径定理推论和勾股定理解直角三角形，是解题的关键． 设的半径为r，根据点D是的中点，是过圆心O的直线，可得，在中，由勾股定理得，即可求解． 【详解】解：如图，连接，设的半径为r， 则，． ∵点D是的中点，是过圆心O的直线， ∴，． 在中，由勾股定理得， 即． 解得． ∴的半径为：5． 17．(24-25九上·辽宁盘锦双台子区·期末)《桥梁的设计》 问题的驱动 某地欲修建一座拱桥，桥的底部两端间的水面宽（如图），称为跨度，桥面最高点到的距离称为拱高，拱桥的轮廓可以设计成是圆弧型或抛物线型，若修建拱桥的跨度米，拱高米． 设计方案 方案一 方案二 设计类型 圆弧型 抛物线型 任务一 （1）如图，设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径． （2）如图，设计成抛物线型，以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，求拱桥的函数解析式． 任务二 （3）如图，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形，测得米，米．请你通过计算说明货船能否分别顺利通过这两座桥梁． 【答案】任务一：（1）该圆弧所在圆的半径为米； （2）； 任务二：（3）能顺利通过圆弧型拱桥，货船不能顺利通过抛物线型拱桥，理由见解析． 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，垂径定理，勾股定理的应用，掌握建模的数学思想是解题关键． 任务一：方案一，设弧所在的圆心为，为弧的中点于点，延长经过点，设的半径为米，利用勾股定理求出即可； 方案二，设抛物线的解析式为，把点和点，代入即可求出抛物线式； 任务二：在圆弧型拱桥中，假设货船能顺利通过拱桥，且货船的顶端正好接触到拱桥，然后由勾股定理求出，即可判断；在抛物线型拱桥中，把代入式求出的值即可判断． 【详解】解：任务一：设计成圆弧型， 设弧所在的圆心为，为弧的中点于点，延长经过点，设的半径为米， 方案一， ， ， 在中， ， 即， 解得， 该圆弧所在圆的半径为米； 方案二，设计成抛物线型， 以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立坐标系，如图所示， ， 设抛物线的解析式为， 将抛物线经过点和点代入解析式， 可得 解得 抛物线的解析式为； 任务二：在圆弧形状的拱桥中，假设货船能顺利通过拱桥，且货船的顶端正好接触到拱桥，如图所示， ， 连接，则， ， 在中， ， ， 货船能顺利通过圆弧型拱桥； 在抛物线型拱桥中， 当时，， 货船不能顺利通过抛物线型拱桥． 答：能顺利通过圆弧型拱桥，货船不能顺利通过抛物线型拱桥． 18．(23-24九上·辽宁葫芦岛连山区·期末)民以食为天．我们常见的炒菜锅可近似的看作抛物线面，锅盖可近似的看作圆形面．经过锅心和盖心的纵断面是一段拋物线和圆弧线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为，锅深为，锅盖高为（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立平面直角坐标系如图1所示（单位：），如果把锅纵断面的抛物线的记为，把锅盖纵断面所在的圆记作． (1)求抛物线解析式和弧所在的半径； (2)锅中原有水的最大深度为（如图2），由于加工食物的需要，又重新加入一定量的水，水位升高，求此时的水面宽度； (3)如果将底面直径，高度为的圆柱形蒸笼若干个叠加起来（如图3）放入锅中蒸食物（不考虑叠加缝隙），为了让锅盖能够盖上，那么最多可以放入这种规格的圆柱形蒸笼多少个？ 【答案】(1)；的半径为 (2)水面宽度为 (3)为了让锅盖能够盖上，那么最多可以放入这种规格的蒸笼4个 【分析】（1）根据题意设抛物线解析式为：，代入求出的值即可；圆心为，连接，设，则，由垂径定理出，根据勾股定理求出半径即可； （2）根据题意把代入（1）中抛物线的解析式，求出即可； （3）先在抛物线中求出时，的值，即的值，再借助图形在中，求出距轴的距离，即的值，再用，求出其整数值即可． 【详解】（1）由题意知抛物线的顶点为，且过，， 设抛物线解析式为：， ，解得：， 抛物线解析式为：， 如图：圆心为，连接， 设，则， ， ， 在中， 由勾股定理可得：， ， 解得：， 的半径为； （2）锅中原有水的最大深度为，又重新加入一定量的水，水位升高， 加水后水面水的最大深度为 水面距锅沿的竖直高度为， 当时，， 解得， 水面宽度为； （3）对于抛物线，如图所示： 当时，， ； 对于，如图所示： 当时，， ， ， ， ， ， 为了让锅盖能够盖上，那么最多可以放入这种规格的蒸笼4个． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式，垂径定理，勾股定理，解题的关键是求出抛物线的解析式和的半径，采用数形结合的思想解题． 地 城 考点04 圆周角定理 一、单选题 1．(24-25九上·辽宁鞍山·期末)如图，是的内接三角形，连接并延长，以为圆心，任意长为半径画弧交射线于两点，分别以这两个交点为圆心，任意长为半径画弧，两弧交于点，作射线，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了作垂线，圆周角定理；根据作图可得，进而得出，根据三角形内角和定理，得出，根据圆周角定理可得 ，进而根据三角形内角和定理，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 根据作图可得， 又∵， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴， 故选：B． 2．(24-25九上·辽宁大连西岗区·期末)如图，是的外接圆，已知，则的大小为（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据等腰三角形“等边对等角”的性质以及三角形内角和定理解得，然后根据圆周角定理求解即可． 【详解】解：∵中，，, ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理以及圆周角定理等知识，理解并掌握圆周角定理是解题关键． 3．(24-25九上·辽宁铁岭·期末)如图，已知是的直径，是弦，若，则等于（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理和直角三角形的性质，灵活利用圆周角定理是解答本题的关键． 先由圆周角定理得到，然后根据是的直径确定，最后根据直角三角形两锐角互余即可解答． 【详解】解：∵是弦，若， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴． 故选：B． 4．(24-25九上·辽宁葫芦岛·期末)如图，是的直径，点，在上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 根据题意得到，再根据圆周角定理得到，计算即可得到答案 ． 【详解】解： 是的直径，， ， ， ， 故选：B ． 5．(24-25九上·辽宁盘锦双台子区·期末)如图，的半径是，，则下列各个量不能根据现有条件求出的是（   ） A．的大小 B．的长度 C．的长度 D．的面积 【答案】D 【分析】首先根据圆周角定理即可判断A；过点O作于点D，根据垂径定理得到，求出，，进而可判断B；根据弧长公式即可求出的长度，进而可判断C；根据现有条件求出不能求出的面积，进而得到答案． 【详解】∵ ∴，故A不符合题意； 如图所示，过点O作于点D ∵的半径是， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴，故B不符合题意； ∵， ∴，故C不符合题意； ∵，但点C的位置不固定，即点C到的距离不固定 ∴的面积不能根据现有条件求出，故D符合题意． 故选：D． 【点睛】此题考查了圆周角定理，弧长公式，勾股定理，含角直角三角形的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 6．(24-25九上·辽宁大连瓦房店·期末)如图，内接于，是的直径，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，从而可求出的度数，然后利用同弧所对的圆周角相等即可解答． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 7．(24-25九上·辽宁抚顺清原满族自治县·期末)如图，是的直径，是上的一点．若，则（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握同弧所对圆周角等于圆心角的一半是解题的关键．根据圆周角定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：C． 8．(24-25九上·辽宁大连弘文中学·期末)如图所示，点都在上．若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查圆中求角度，涉及圆的性质、等腰三角形的判定与性质、圆周角定理等知识，先由圆的性质得到和是等腰三角形，由等边对等角确定，最后由圆周角定理求解即可得到答案，熟练掌握等腰三角形的判定与性质、圆周角定理是解决问题的关键． 【详解】解：点都在上， ， 即和是等腰三角形， ，， ，， ， ， ， 故选：A． 9．(24-25九上·辽宁营口大石桥第二初级中学·期末)如图，中，弦，相交于点，，，则（    ） A．40° B．45° C．15° D．85° 【答案】D 【分析】此题主要考查了同弧所对的圆周角相等，根据同弧所对的圆周角相等可求出，再利用三角形外角的性质可得答案．解题的关键是掌握同弧所对的圆周角相等． 【详解】解： ∵， ∴． 又∵， ∴， 故选：D． 10．(24-25九上·辽宁大连汇文中学·期末)如图，在半径为1的中，有一条弦，直径，垂足为E，，则弦的长为（  ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，连接并延长交于点，连接，根据圆周角定理，得到，推出，得到为等腰直角三角形，进行求解即可． 【详解】解：连接并延长交于点，连接，则：为直径， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴； 故选：A． 11．(24-25九上·辽宁大连高新技术产业园区·期末)如图，是的直径，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆周角定理，熟练掌握“同弧所对的圆周角等于圆心角的一半”是解题的关键．利用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出，由即解答可． 【详解】解：∵ ，是弧所对的圆周角，是弧所对的圆心角， ∴， ∴， 故选：D． 二、填空题 12．(24-25九上·辽宁大连西岗区·期末)如图，点在上，若，则 °． 【答案】 【分析】本题考查圆周角定理，掌握一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半是解题的关键． 【详解】 故答案为：60 13．(24-25九上·辽宁沈阳浑南区东北育才学校·期末)如图，为的直径，，，则的度数是 ． 【答案】/37度 【分析】本题考查了圆周角定理及其推论，直角三角形的性质等知识，连接，根据直径所对的圆周角是直角得，进而可求出，然后再根据在同圆中，等弧所对的圆周角相等可得出的度数． 【详解】解：连接，如图所示： ∵为的直径， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 14．(24-25九上·辽宁大连弘文中学·期末)与x轴交于点A，B，与y轴的正半轴交于点C．若，则点C的纵坐标为 ． 【答案】/ 【分析】连接，，，过作于，于，判定四边形是矩形，得到，，由，，得到，由垂径定理得到，求出，得到，由等腰直角三角形的性质求出，，得到，由勾股定理求出，得到，于是得到的纵坐标． 【详解】解：连接，，，过作于，于， ， 四边形是矩形， ，， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 是中点， ， ， ， ， 的纵坐标是． 故答案为：． 【点睛】本题考查圆周角定理，勾股定理，垂径定理，等腰直角三角形，坐标与图形的性质，关键是由圆周角定理判定是等腰直角三角形，从而求出、的长，由勾股定理求出的长． 三、解答题 15．(24-25九上·辽宁鞍山台安县·期末)如图，是的内接三角形，是的直径，，，点F在上，连接并延长，交于点D，连接，作，垂足为E． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是圆周角定理的应用，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，熟记圆的基本性质与重要定理是解本题的关键． （1）分别证明，从而可得结论； （2）过点C作，垂足为G，由勾股定理求出，再由求出，由已知得出为1，因此为中垂线，从而得出相等，又因为，故，最后由，通过对应边成比例解出． 【详解】（1）证明：∵为直径， ， ， ， 所对的圆周角为和， ， ； （2） 解：如图，过点C作，垂足为G， ，，， ， ， ， ， ， 是的垂直平分线， ， ， ， ， ∴， ∴， ∴． 16．(24-25九上·辽宁大连汇文中学·期末)如图，在中，，是的外接圆，连接并延长交于点D，连接． 在上取一点F，使，连接与交于点G． (1)试求与的数量关系； (2)求证：； 【答案】(1)，理由见解析 (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了同弧所对的圆周角相等，垂径定理，直接所对的圆周角是直角等等． （1）由，得出，进而得出，由直径所对的圆周角等于得出，从而得出； （2）连接，由得出垂直平分，从而得到，再证明，即可得出结论； 【详解】（1）解：．理由如下： ， ． ， ． 是直径， ， ． ， ． （2）证明：连接， ，， 垂直平分， ， ． ，， ∴， ， ， ， ． 地 城 考点05 圆内接四边形 一、单选题 1．(24-25九上·辽宁抚顺新抚区·期末)如图，点A，B，C在上，按以下步骤作图：①以点B为圆心，适当的长为半径画弧，分别交线段，于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于的长为半径画弧，交于点F；③连接并延长，交于点G，并连接，，，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了基本作图，圆内接四边形角度的求解，圆周角定理，先根据“圆内接四边形的对角互补”求出，再根据圆周角与圆心角的关系求解即可． 【详解】解：点A，B，C在上，， ， 由作图得：平分， ， ． 故选：D． 2．(24-25九上·辽宁铁岭铁岭县·期末)如图，四边形内接于⊙，为⊙的直径，，则的度数是（    ） A．90° B．100° C．110° D．120° 【答案】C 【分析】因为为⊙的直径，可得，，根据圆内接四边形的对角互补可得的度数，即可选出答案． 【详解】∵为⊙的直径， ∴， 又∵， ∴， 又∵四边形内接于⊙， ∴， ∴， 故答案选：C． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，掌握半圆（或直径）所对圆周角是直角，是解答本题的关键． 3．(24-25九上·辽宁大连庄河·期末)如图，已知四边形是的内接四边形，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆周角定理，圆内接四边形，根据圆周角定理，结合圆内接四边形的对角互补，进行求解即可． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形，， ∴， ∴； 故选：D． 4．(24-25九上·辽宁鞍山海城东部集团·期末)如图，圆内接四边形中，，连接，，，，．则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆内接四边形对角互补得出，根据圆周角定理得出，根据已知条件得出，进而根据圆周角定理即可求解． 【详解】解：∵圆内接四边形中，， ∴ ∴ ∵ ∴， ∵ ∴, 故选：A． 【点睛】本题考查了圆内接四边形对角互补，圆周角定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 二、填空题 5．(24-25九上·辽宁鞍山·期末)如图，四边形是圆的内接四边形，若，则的度数是 ． 【答案】/度 【分析】本题考查圆周角定理和圆内接四边形的性质．根据圆周角定理和圆内接四边形的对角互补，进行求解即可． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形，， ∴， ∴； 故答案为：． 6．(24-25九上·辽宁大连中山区·期末)如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点，∠A=50°，则∠DCE的度数为 ． 【答案】50° 【详解】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠A＋∠DCB＝180°， 又∠DCE＋∠DCB＝180°， ∴∠DCE＝∠A＝50°， 故答案为50°． 【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解决此题的关键． 7．(24-25九上·辽宁大连瓦房店·期末)如图，四边形是的内接四边形，为直径，且满足，，则的长为 ． 【答案】 【分析】此题主要弧长的计算，圆周角定理，圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的性质，弧长的计算公式是解决问题的关键．连接，根据圆的性质，可得，根据圆内接四边形，得，求出，根据等边三角形的判定和性质，弧长公式即可求出的长． 【详解】解：连接， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵为直径，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴的长为：． 故答案为：． 8．(24-25九上·辽宁大连嘉汇集团·期末)如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，则 °．    【答案】15 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质以及直径所对的圆周角等于，根据圆内接四边形的性质可得出，再根据直径所对的圆周角等于可得出，再利用角的和差关系可得出答案． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形，且， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 故答案为：15． 三、解答题 9．(24-25九上·辽宁鞍山海城西部集团·期末)如图，圆内接四边形的对角线，交于点E，平分，． (1)求的大小； (2)过点C作交的延长线于点F．若，，求圆的半径． 【答案】(1) (2)圆的半径为6 【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等得出，结合已知得出，根据角平分线的定义得出，再根据圆内接四边形对角互补得出，于是得到，从而求得的大小； （2）先证得垂直平分，再证为等边三角形，再证，，于是可求出的长，再在中求出的长，问题可解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵四边形为圆内接四边形， ∴， ∴°， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）知， ∴，为直径， ∵， ∴， ∴， ∵为直径， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵四边形为圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为直径， ∴， ∵， ∴， 即圆的直径为， 所以圆的半径为6． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形，平行线的性质，涉及的知识点较多，需熟练掌握． 10．(24-25九上·辽宁营口大石桥第二初级中学·期末)如图，圆内接四边形的对角线，交于点，平分，． (1)求的大小； (2)过点作交的延长线于点．若，，求圆的半径． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题考查了弧与圆周角的关系，等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，圆内接四边形对角互补，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据圆周角定理推出根据角平分线的定义得出，根据圆的内接四边形定理得出，进而得出，即可求解； （2）通过证明得出垂直平分线段，进而得出是等边三角形，再证明，则，设圆心为O，则点O是中点，连接，通过证明是等边三角形，即可求解． 【详解】（1）证明：，， ， 平分， 平分， ， ，即 ， ； （2）解：，， ∴， ，， 垂直平分线段， 又， 是等边三角形， ， ∴， ， ∵， ， 又∵， ， ， ∴是直径，设圆心为O，则点O是中点，连接， ， ∴是等边三角形， 又∵垂直线段， ，即圆的半径为6． 地 城 考点06 直线与圆的位置关系 一、单选题 1．(24-25九上·辽宁抚顺新抚区·期末)已知的半径为，圆心到直线的距离．则直线与的公共点的个数为（   ）． A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，熟练掌握根据圆心到直线的距离与半径的大小关系是判段点的个数的关键． 若圆心到直线的距离，圆的半径， 当时，直线与圆相离，此时直线与圆没有公共点； 当时，直线与圆相切，此时直线与圆有一个公共点； 当时，直线与圆相交，此时直线与圆有两个公共点． 【详解】解： 的半径为， 圆心到直线的距离， 直线与圆相切，此时直线与圆有一个公共点， 故选：B． 2．(24-25九上·辽宁营口第一中学·期末)在平面直角坐标系xOy中，以点(－3，4)为圆心，4为半径的圆(  ) A．与x轴相交，与y轴相切 B．与x轴相离，与y轴相交 C．与x轴相切，与y轴相交 D．与x轴相切，与y轴相离 【答案】C 【详解】分析：首先画出图形，根据点的坐标得到圆心到X轴的距离是4，到Y轴的距离是3，根据直线与圆的位置关系即可求出答案． 解答：解：圆心到X轴的距离是4，到y轴的距离是3， 4=4，3＜4， ∴圆与x轴相切，与y轴相交， 故选C． 3．(23-24九上·辽宁抚顺新抚区·期末)若 的半径为1，圆心到直线l的距离为1，则直线l与⊙的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查直线由圆位置关系，判断直线和圆的位置关系：设的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．①直线l和相交⇔，②直线l和相切⇔，③直线l和相离⇔． 【详解】∵ 的半径为1，圆心到直线l的距离为1， ∴， ∴直线与圆相切， 故选：B． 二、填空题 4．(23-24九上·辽宁朝阳县·期末)在平面直角坐标系中，的圆心坐标为，半径是方程的一个根，那么与轴的位置关系是 ，与轴的位置关系是 ． 【答案】 相切 相交 【分析】本题考查了解一元二次方程，直线与圆的位置关系，解题的关键是掌握圆与直线的位置关系．解方程得到半径，再根据圆心坐标判断位置关系． 【详解】解： 解得：或， 半径大于零， 的半径为， 圆心坐标为， 到轴的距离为：，到轴的距离为：， 与轴的位置关系是相切，与轴的位置关系是相交， 故答案为：相切，相交． 地 城 考点07 切线的判定 一、解答题 1．(24-25九上·辽宁盘锦双台子区·期末)在中，以为直径作，与交于点，连接，的平分线交于点，交于，连接，若，． (1)求证：为的切线； (2)若，求的半径长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由的平分线交于点，得，进而得到，即，根据的等边对等角得到，进而即可证明； （2）连接，根据同弧所对的圆周角相等得到，即可求出，然后利用勾股定理求出半径长． 【详解】（1）证明：在中，以为直径作，与交于点，的平分线交于点，交于， ， ，， ， ， ， ， ，     ， ，， ， ， ， ， 为直径， 为切线； （2）解：连接，如图， ， ， ， ， ， ， ，， 在直角三角形中，由勾股定理得： ， ， ， 半径为． 【点睛】本题考查了同弧或等弧所对的圆周角相等，切线的判定，勾股定理，等腰三角形的性质，掌握圆周角定理是解题的关键． 2．(24-25九上·辽宁抚顺新抚区·期末)如图，在中，是对角线，．以点A为圆心，的长为半径作，交边于点E，连接． (1)求证：与相切； (2)若，．求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)120 【分析】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质． （1）连接，根据平行四边形的性质得到，，得到，根据全等三角形的性质得到，得到，根据切线的判定定理得到结论； （2）由已知得，根据勾股定理得到，，再根据可得答案． 【详解】（1）证明：连接， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴与相切； （2）解：∵， ∴， ∵，， 在中，， ∴， 在中，， ∴． 3．(24-25九上·辽宁大连瓦房店·期末)如图，在中，，D为AC上一点，以为直径的与相切于点，交于点，过F点做FG⊥AB，垂足为． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)BF2 【分析】（1）由等腰三角形的性质可证，可证，可得结论； （2）由切线的性质可证四边形是正方形，可得，设半径为，由，可得，利用勾股定理求出，再在直角三角形中由勾股定理进行计算即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， 又是半径， 是的切线； （2）解：如图，连接，， 是的切线， ， ， ， 与相切于点， ， 四边形是长方形， ， 四边形是正方形， ， 设的半径为，则， ， 在中，，， ， 在中，， ， ． 【点睛】本题考查切线的性质和判定，勾股定理，等腰三角形的性质，正方形的判定和性质，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 4．(24-25九上·辽宁盘锦大洼区·期末)如图，的直径为，为圆上一点，连接，为的延长线上的一点，过点作，垂足为，连接，． (1)求证：是的切线． (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1）连接，证明，得到即可证明是的切线． （2）连接，结合的直径为，得到,继而得到，，证明，计算即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴, ∴是的切线． （2）解：连接， ∵的直径为， ∴, ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得， ∴， 故的半径为2． ． 【点睛】本题考查了切线证明，三角形相似的判定和性质，圆周角定理，余角的性质，熟练掌握切线证明是解题的关键． 5．(24-25九上·辽宁大连西岗区·期末)如图，为的直径，平分交于，过点作与的延长线交于点． (1)求证：为切线； (2)若 ，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据角平分线的定义得到，由，得到，则，所以有，即，结合为半径，切线的定义即可求解； （2）连接交于，由角平分线的定义，等角所对弧相等得到，由弦，弧的关系得到，则，根据为的直径，得到，则四边形是矩形，再运用勾股定理得到，根据中位线的判定得到，由即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵平分， ∴， ∵中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为半径， ∴为切线 （2）解：连接交于， ∵平分， ∴， ∴， ∴，则， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵，点分别是的中点， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查三角形与圆的综合，掌握切线的判定，圆的基础知识，圆周角，弦，弧的关系，直径所对圆周角为直角，矩形的判定和性质，勾股定理，中位线的判定及性质等知识的综合运用是解题的关键． 6．(24-25九上·辽宁营口·期末)如图，内接于，D是上一点，．E是外一点，，连接． (1)若，求的长； (2)求证：是的切线． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据可得，然后证明，根据全等三角形的性质可得答案； （2）连接，首先证明，再根据三角形内角和定理和圆周角定理求出，然后计算出即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴； （2）证明：如图，连接， 由（1）得：， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵是半径， ∴是的切线． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，圆周角定理，切线的判定等知识，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键． 7．(24-25九上·辽宁大连金普新区·期末)如图1，中，，以为直径作交于点，过点作，垂足为点，连接． (1)求证：是的切线； (2)如图2，分别延长，相交于点，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长 【分析】（1）根据圆周角定理和等腰三角形的性质证得，由内错角相等证得，进而证得，即可证的结论； （2）设，根据等腰三角形的性质和三角形外角定理证得，，进而求得，，根据含30度直角三角形的性质求出，根据弧长公式即可求出答案． 【详解】（1）证明：如图，连接． ， ， 是直径， ， ， 又， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 又是半径， 是的切线； （2）解：如图，连接． 由（1）得，是的切线， ， ， ， 设， ， 又， ， ， ， ， ， 在中，，， ， 的长． 【点睛】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，等腰三角形的性质，含30度直角三角形的性质，弧长的计算，熟练掌握相关知识是解决问题的关键． 8．(24-25九上·辽宁盘锦兴隆台区·期末)如图，在四边形中，对角线平分是的外接圆． (1)在图中补出； (2)判断并说明与的位置关系； (3)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)是的切线，见解析 (3) 【分析】本题考查了切线的判定，弧长公式等知识，解题的关键是： （1）作的垂直平分线交于点O，以O为圆心，为半径作圆即可； （2）连接，根据圆的概念等边对等角可得出，结合角平分线的定义以及平行线的判定可得出，进而可得出，最后根据切线的判定即可得证； （3）证明是等边三角形，得出，然后根据弧长公式求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求 （2）解：是的切线． 理由是：连接． 是的外接圆，且 ∴点O在上，且 ∵对角线平分 是的半径 是的切线 （3）解： 是等边三角形 的长 9．(24-25九上·辽宁铁岭铁岭县·期末)如图①，独轮车俗称“手推车”，又名辇、鹿车等，是交通运输工具史上的一项重要发明，至今在我国农村和一些边远地区仍然广泛使用． 如图②所示为从独轮车中抽象出来的几何模型． 在 中，以 的边为直径作， 交于点 P，， 且， 垂足为点 D． (1)求证：是的切线； (2)若，，求弧的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据等边对等角并结合已知可得出，则可证明，再关键平行线的性质得出，最后根据切线的判定即可得证； （2）根据圆周角定理求出，证明是等边三角形，得出，在中，根据含角的直角三角形的性质求出，最后根据弧长公式求解即可． 【详解】（1）证明：连接，如图 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又∵为半径， ∴是的切线； （2）解：连接，如图， ， ， ， 为等边三角形， ， 由（1）得， ， ， ， ∴弧的长． 【点睛】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，圆周角定理，弧长公式等知识，正确添加辅助线，熟练掌握知识点是解题的关键． 10．(24-25九上·辽宁沈阳浑南区东北育才学校·期末)如图，为的直径，C为上一点，，交于点E，且C为弧的中点，连接．      (1)求证：是的切线； (2)F为上一点，连接，若，，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)的半径为 【分析】（1）连接，根据圆周角定理可得，根据等腰三角形的性质可得，从而可证，即可得是的切线； （2）延长交于点，根据平行线的性质可证，根据垂径定理可得，利用勾股定理可求，在根据勾股定理 即可求出圆的半径． 【详解】（1）证明：如图所示，连接，   ， ， ， ∵， ， ， ， ， ， 是的切线； （2）解：如图所示，延长交于点，    ∵，， ， ， ， 设， 则， ， ， 解得：． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，切线的性质和判定，平行线的性质和判定，等腰三角形的性质和判定的应用，解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理求半径的长 ． 11．(24-25九上·辽宁大连甘井子区第八十中学·期末)如图，为的直径，C为圆上的一点，D为劣弧的中点，过点D作与的延长线交于点G，与的延长线交于点F． (1)如图1，求证：是的切线； (2)如图2，连接交于点E，若，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1）连接，利用垂径定理和平行线的性质即可证明； （2）连接，由D为劣弧的中点，得出，则，．又根据，得出，推出，设，则，解方程即可得出结论． 【详解】（1）证明：连接，如图， D为劣弧的中点， ， ， ， ， 是的切线； （2）解：连接，如图， D为劣弧的中点， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， 为的直径， ， ， ， 解得：（舍）， ． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，切线的判定，解题的关键是正确作出辅助线． 12．(24-25九上·辽宁大连弘文中学·期末)如图，中，，以为直径的与，分别交于点和点，过点作，垂足为． (1)求证：是的切线； (2)若，，求半径． 【答案】(1)证明见解析； (2)的半径为． 【分析】（）连接，，由圆周角定理得，又，则通过等腰三角形的性质得，然后由中位线定理可得，最后由平行线的性质即可求证； （）过点作，垂足为，易证四边形是矩形，从而得出，设的半径为，然后利用垂径定理表示出，最后在中利用勾股定理列出关于的方程进行计算即可解答． 【详解】（1）证明：连接，， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：过点作，垂足为， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 设的半径为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴的半径为． 【点睛】本题考查了切线的判定，中位线定理，等腰三角形的性质 ，勾股定理，垂径定理，圆周角定理，熟练掌握相关知识的应用及根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 13．(24-25九上·辽宁大连高新技术产业园区·期末)如图，内接于是的直径，点在上，平分，过点作交的延长线于点，延长交的延长线于． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了切线的判定，角平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解决问题的关键． （1）由角平分线的定义和等腰三角形的性质证明，得到，进而证得，根据切线的判定定理即可证得结论； （2）先根据勾股定理求出半径，再根据面积相等得出，根据角平分线的性质得出，再求出，，最后根据勾股定理即可得出答案． 【详解】（1）证明：连接， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， ∴EF是的切线， （2）如图，过作于， 设， ， 在Rt中，， ， ， 解得， ， ， ， ， 平分， ， ，， 在Rt中，根据勾股定理得，， 地 城 考点08 切线的性质 一、单选题 1．(24-25九上·辽宁大连中山区·期末)如图，，分别与相切于，两点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了切线的性质、四边形内角和定理，同弧所对的圆周角与圆心角的关系等知识．首先根据同圆中同弧所对的圆心角等于圆周角的倍，可以求出，再根据切线的性质可以得到，根据四边形的内角和是求出的度数． 【详解】解：， ， 、是的切线， ， 在四边形中，， ， ． 故选：A ． 2．(24-25九上·辽宁抚顺新抚区·期末)如图，切于点B，连接交于点C，交于点D，连接，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，连接，证明，，可得，从而可得． 【详解】解：如图，连接，    ∵切于点B， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴； 故选C 【点睛】本题考查的是切线的性质，圆周角定理的应用，三角形的内角和定理的应用，掌握基本图形的性质是解本题的关键． 3．(24-25九上·辽宁营口大石桥第二初级中学·期末)如图，、为⊙O的切线，切点分别为A、B，交于点C，的延长线交⊙O于点D．下列结论不一定成立的是（    ） A．为等腰三角形 B．与相互垂直平分 C．点A、B都在以为直径的圆上 D．为的边上的中线 【答案】B 【分析】连接OB，OC，令M为OP中点，连接MA，MB，证明Rt△OPB≌Rt△OPA，可得BP=AP，∠OPB=∠OPA，∠BOC=∠AOC，可推出为等腰三角形，可判断A；根据△OBP与△OAP为直角三角形，OP为斜边，可得PM=OM=BM=AM，可判断C；证明△OBC≌△OAC，可得PC⊥AB，根据△BPA为等腰三角形，可判断D；无法证明与相互垂直平分，即可得出答案． 【详解】解：连接OB，OC，令M为OP中点，连接MA，MB， ∵B，C为切点， ∴∠OBP=∠OAP=90°， ∵OA=OB，OP=OP， ∴Rt△OPB≌Rt△OPA， ∴BP=AP，∠OPB=∠OPA，∠BOC=∠AOC， ∴为等腰三角形，故A正确； ∵△OBP与△OAP为直角三角形，OP为斜边， ∴PM=OM=BM=AM ∴点A、B都在以为直径的圆上，故C正确； ∵∠BOC=∠AOC，OB=OA，OC=OC， ∴△OBC≌△OAC， ∴∠OCB=∠OCA=90°， ∴PC⊥AB， ∵△BPA为等腰三角形， ∴为的边上的中线，故D正确； 无法证明与相互垂直平分， 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，圆的性质，掌握知识点灵活运用是解题关键． 二、填空题 4．(24-25九上·辽宁盘锦大洼区·期末)如图，，切⊙于两点，若，则 ． 【答案】 【分析】根据切线的性质得到，进而得出，根据题意计算，得到答案． 本题考查的是切线的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 【详解】解：∵，切⊙于两点， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 5．(24-25九上·辽宁葫芦岛·期末)如图，，分别与相切于，两点，点为上异于，的一点，连接，，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】连接，在所对的弧上取点D，连接，根据切线的性质，四边形的内角和，求出的度数，再根据圆周角定理，求出的度数即可． 【详解】解：连接，在所对的弧上取点D，连接， ∵，分别与相切于，两点， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，多边形内角和，正确作出辅助线是解答本题的关键． 6．(24-25九上·辽宁鞍山·期末)如图，平面直角坐标系中，点坐标为，经过原点交轴于点，点是圆上任意一点，将沿弦折叠后恰好与轴相切，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】设关于的对称点为，连接，根据题意得出圆的半径为，进而得出，根据折叠的性质可得，且的纵坐标为，则四边形是菱形，，设，进而根据中点坐标公式求得，根据建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：设关于的对称点为，连接， ∵点坐标为， ∴ ∵经过原点交轴于点，设， ∴ ∴或（舍去） ∴， ∵将沿弦折叠后恰好与轴相切， ∴，且的纵坐标为，则四边形是菱形， 设，则 ∴ ∵ ∴ 解得：（负值舍去） ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标与图形，折叠问题，切线的性质，勾股定理，菱形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 7．(24-25九上·辽宁鞍山海城西部集团·期末)PA，PB，CD是⊙O的切线，A，B，E是切点，CD分别交PA，PB于C，D两点，若∠APB=50°，则∠COD的度数为 ． 【答案】65°或115° 【分析】根据题意画出符合题意的图形，分别求出∠AOB，再根据切线的性质求出∠COD的度数． 【详解】如图，连接OA、OB、OE ∵PA，PB是⊙O的切线 ∴OA⊥AP，OB⊥BP， ∴∠OAP=∠OBP=90° ∵∠APB=50°， ∴∠AOB=360°-90°-90°-50°=130° ∵CD是⊙O的切线 ∴OE⊥CD ∵∠CEO=∠DEO=90° ∵PA，PB，CD是⊙O的切线，A，B，E是切点， ∴∠OCA=∠OCE，∠ODB=∠ODE， ∵∠AOC=180°-∠OAC-∠OCA，∠EOC=180°-∠OEC-∠OCE， ∴∠AOC=∠EOC 同理可得∠BOD=∠EOD ∴∠COD=∠EOC+∠EOD=∠AOE+∠BOE=∠AOB=65° 如图，连接OA、OB、OE 同理可得∠AOB=130° 同理可得∠COD=∠EOC+∠EOD=∠AOE+∠BOE ∴∠COD=（360°-130°）=115° 故答案为：65°或115°． 【点睛】此题主要考查考查了切线的性质，切线长定理，三角形的内角和等知识点的应用，解题的关键是根据题意分情况作图求解． 三、解答题 8．(24-25九上·辽宁大连沙河口区·期末)如图，内接于，是直径，的平分线交于点且．过点D作的切线，与的延长线相交于点． (1)求证：； (2)若的半径为，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，平行线的判定和性质，，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）连接，根据切线的性质得到，根据圆周角定理得到，继而得到，即可得到结论； （2）连接，过点作于点，得到，求出，继而求出，，即可得到答案． 【详解】（1）证明：如图，连接， 是的切线 是直径， ， 平分， ， ， ， ； （2）解：如图，连接，过点作于点． 平分，， 是直径 ， ， ， 在中，， ， 由（1）知， ， ， ， 在中，， ，， ， 在中，， ． 9．(24-25九上·辽宁大连中山区·期末)如图，中，以为直径的交于点，过点作的切线交于点，．    (1)求证； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接．设，则．由，得到．求出．，进而求得，根据三角形的内角和得到，即可得到，从而得证结论； （2）根据勾股定理求得．设，则，．中，根据勾股定理构造方程，求解即可． 【详解】（1）证明：连接． 设，则． ， ． 为的直径， ， ∴． 是的切线， ． ∵， ∴． ． ∵中，． ． ． （2）解：∵在中，，， ． 设，则，． ∵中，． ∴． 解得． ． 【点睛】本题考查直径所对的圆周角为，切线的性质，三角形的内角和定理及外角性质，等腰三角形的判定及性质，勾股定理，综合运用相关知识是解题的关键． 10．(24-25九上·辽宁鞍山·期末)如图，矩形中，点O是对角线上一动点；以O为圆心，长为半径作圆，使边与相切于点E，若；    (1)求的半径； (2)若与边相交于点F，G，连接，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）勾股定理求出，证明，则，得到，即，解得,即可得到答案； （2）过点O分别作，垂足分别为点P和Q，连接，证明四边形都是矩形，得到，，证明三点共线，则，证明，得到，解得,,则，得到则，证明，得到，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， 在中， ， ∵与相切于点E， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴，即， 解得, 即的半径为； （2）过点O分别作，垂足分别为点P和Q，连接，    则， ∵， ∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∴四边形都是矩形， ∴，， ∴， ∴三点共线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得,, ∴， ∵ 过圆心O， ∴ ∴， ∴， ， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴ 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、切线的性质、矩形的判定和性质、垂径定理、勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 11．(24-25九上·辽宁大连西岗区·期末)如图，是的外接圆，是的直径，是上一点，连接，过点D的切线与的延长线交于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了切线的性质、相似三角形的判定和性质、圆周角定理、解直角三角形等知识，证明是解题的关键． （1）连接，，由切线的性质得到，由是的直径得到，由得到，又由，即可得到结论； （2）求出，勾股定理得到，证明，则，设则由得到，解得或（不合题意，舍去），即可得到的长． 【详解】（1）证明：连接，， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴，, ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴ 设则 在中，， ∴ ∴ 解得或（不合题意，舍去） ∴， 即的长为． 12．(24-25九上·辽宁抚顺县·期末)如图，是的直径，C为上一点，和过点C的切线互相垂直，垂足为D，交于点E，，． (1)求证：平分； (2)求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的性质以及垂径定理，熟练掌握垂径定理与切线的性质是解答本题的关键． （1）连接，是过点C的切线，得到，然后可以推出，结合推导出，，即平分； （2）过点O作，首先证得四边形是矩形，，然后利用勾股定理解答即可． 【详解】（1）证明：如图，连接． ∵和过点C的切线互相垂直，垂足为D， ∴． ∵是过点C的切线， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 即平分． （2）解：如图，过点O作，垂足为F． ∴，． 由（1）知，，， ∴四边形是矩形． ∴． 在中，， ∴． 即的半径为． 13．(24-25九上·辽宁大连甘井子区·期末)如图，点C在以为直径的上，点D是弧的中点，过点B作切线交延长线于点F，连接并延长交于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据圆周角定理可得，，根据切线的性质可得，进而可得，即可得证； （2）连接，先证明，可得，，再证明，根据相似三角形的性质可求，根据勾股定理求出，再证明，根据相似三角形的性质可求，进而得解． 【详解】（1）证明：∵点D是弧的中点， ∴， ∴， ∵与相切于点B，为半径， ∴， ∴， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接， ∵， ∴，    ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 整理得：， ∴，（舍），     ∴， 中，，   ， ∴， ， ， ， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是综合运用以上知识点解决问题． 14．(24-25九上·辽宁抚顺清原满族自治县·期末)如图，，是的切线，，为切点，连接，，过点作交于点，过点作，垂足为． (1)求证：． (2)若的半径是，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题主要考查了切线的性质，全等三角形的判定和性质， （1）根据切线的性质得，，再根据，，得，则四边形是矩形，然后根据矩形的性质可得出结论； （2）设，依题意得，，证明和全等得，然后在中，由勾股定理求出，进而可得的长． 【详解】（1）证明：，是的切线，，是的半径， ，， ，， ， ， 四边形是矩形， ； （2）解：设， 四边形是矩形，的半径是，， ，， ， ∴， ，， ， 在和中， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， ． 15．(24-25九上·辽宁朝阳北票·期末)如图，是的直径，是的切线，、是的弦，且，垂足为E，连接并延长，交于点P． (1)求证：； (2)若的半径，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据是的切线，得出．根据，可证．得出．根据同弧所对圆周角性质得出即可； （2）连接．根据直径所对圆周角性质得出，．可证．得出．根据勾股定理．再证．求出即可． 【详解】（1）证明：∵是的切线， ∴． ∵ ∴， ∴． ∴． ∵， ∴． （2）解：如图，连接． ∵为直径， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ， ∴． ∴． ∴． ∴． 【点睛】本题考查圆的切线性质，直径所对圆周角性质，同弧所对圆周角性质，勾股定理，三角形相似判定与性质，熟练掌握圆周角性质和三角形相似判定与性质是解题关键． 16．(24-25九上·辽宁大连博伦中学·期末)是的直径，C是上一点，，垂足为D，过点A作的切线，与的延长线相交于点E． (1)如图1，求证； (2)如图2，连接，若的半径为2，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明，，即可得出； （2）证明 ，求出OD，由勾股定理求出DB，由垂径定理求出BC，进而利用勾股定理求出AC，AD． 【详解】（1）解：∵ ， ∴， ∵ 是的切线， ∴， 在和中，，， ∴； （2）解：如图，连接AC． ∵ 的半径为2， ∴，， ∵ 在和中， ，， ∴ ， ∴，即， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． ∵ ，经过的圆心， ∴， ∴． ∵是的直径，C是上一点， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． 在中，由勾股定理得：， ∴． 【点睛】本题考查切线的定义、圆周角定理、垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质等，综合性较强，熟练掌握上述知识点，通过证明 求出OD的长度是解题的关键． 17．(24-25九上·辽宁鞍山海城东部集团·期末)如图，是的直径，是的切线，、是的弦，且，垂足为E，连接并延长，交于点P． (1)求证：； (2)若的半径，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的性质与判定． （1）根据切线的性质以及平行线的性质得出，根据，即可得证； （2）连接，证明，根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）证明：是的切线， ， ， ， ， ， ． （2）解：如图，连接， 是直径， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ∴， ， ． 地 城 考点09 切线长定理 一、单选题 1．(24-25九上·辽宁盘锦兴隆台区·期末)如图，四边形的内切圆为，若，则四边形的周长为（   ） A．10 B．15 C．20 D．25 【答案】C 【分析】本题考查了切线长定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 根据切线长定理得到，，，，再根据四边形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：四边形外切于，设切点分别为、、、， ，，，， ， 四边形的周长为：， 故选：C． 2．(24-25九上·辽宁大连甘井子区·期末)如图，，是的切线，A，B为切点，是的直径，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了切线的性质，切线长定理，以及等腰三角形的性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键． 由，分别为的切线，根据切线长定理得到，再利用等边对等角得到一对角相等，由顶角的度数，求出底角的度数，又为圆的直径，根据切线的性质得到与垂直，可得出为直角，用即可求出的度数． 【详解】∵，分别切于A，B点，是的直径， ， 又∵， ， ， 故选：A． 3．(24-25九上·辽宁大连高新园区·期末)如图，与它的内切圆分别相切于点D、E、F．若周长为20，，则长为（   ） A．8 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【分析】本题考查切线长定理，根据切线长定理，可知：，进而推出，即：，求解即可． 【详解】解：∵与它的内切圆分别相切于点D、E、F， ∴， ∵周长为20， ∴， ∴， ∴，即：， ∴； 故选D． 二、填空题 4．(24-25九上·辽宁大连汇文中学·期末)如图，都是的切线，，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查了切线长定理， 根据切线长定理，可得，得到，由此即可解决问题． 【详解】解：∵都是的切线， ∴可以假设切点分别为E、H、G、F， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：6 5．(24-25九上·辽宁盘锦·期末)如图，是的内切圆，D，E分别为边，上的点，且为的切线．若的周长为32，的周长为12，则的长为 ．    【答案】10 【分析】本题考查了切线长定理，根据切线长定理得，，，，再根据三角形周长公式即可求解，熟练掌握切线长定理是解题的关键． 【详解】解：如图：    由切线长定理得：，，，， ， ， ， 故答案为：10． 6．(24-25九上·辽宁大连金州区·期末)如图，是的切线，为切点，如果，，则的长为 ．      【答案】 【分析】本题考查了切线长定理，根据切线长定理：由于是的切线，则，，求出的长即可求出的长，熟练掌握切线长定理是解题的关键． 【详解】解：∵A为的切线， ∴， ∵为的切线， ∴， ∴． 故答案为：． 地 城 考点10 正多边形与圆 一、单选题 1．(24-25九上·辽宁铁岭铁岭县·期末)如图，正六边形内接于，点M在上，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出正六边形的中心角，再利用圆周角定理求解即可． 【详解】解：连接OC、OD、OE，如图所示：    ∵正六边形内接于， ∴∠COD= =60°，则∠COE=120°， ∴∠CME= ∠COE=60°， 故选：D． 【点睛】本题考查正多边形的中心角、圆周角定理，熟练掌握正n多边形的中心角为是解答的关键． 2．(24-25九上·辽宁鞍山台安县·期末)我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估计圆周率，理论上能把的值计算到任意精度．“割圆术”的第一步是计算圆内接正六边形的面积，若圆的半径为1，则圆内接正六边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正六边形与圆的相关计算，涉及等边三角形的判定和性质，连接，过点O作于点G，先证明为等边三角形，再求出的面积，根据正六边形的面积为6倍的面积，求解即可，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】如图，连接，过点O作于点G， ∵正六边形的中心角， ∴为等边三角形， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴圆内接正六边形的面积为， 故选：B． 3．(24-25九上·辽宁营口·期末)正多边形的一部分如图所示，若，则该正多边形的边数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理．根据正多边形的性质得出点、、在以点为圆心，为半径的同一个圆上，根据圆周角定理得到，即可得到结论． 【详解】解：如图，设正多边形的中心为， ∵、、为正多边形的顶点， ∴点、、在以点为圆心，为半径的同一个圆上， ∵， ∴， ∵， ∴该正多边形的边数为． 故选：B． 二、填空题 4．(24-25九上·辽宁大连中山区·期末)如图，正六边形内接于，正六边形的周长是12，则的半径是 . 【答案】2 【分析】首先求出∠AOB=60°，进而证明△OAB为等边三角形，问题即可解决． 【详解】解：如图，连接OA、OB， ∵⊙O的内接正六边形ABCDEF的周长为12， ∴边长为2， ∵∠AOB=×360°=60°，且OA=OB， ∴△OAB为等边三角形， ∴OA=AB=2， 即该圆的半径为2． 故答案为2． 【点睛】本题考查正多边形和圆，以正多边形外接圆、正多边形的性质，熟练掌握正六边形的性质，证明三角形是等边三角形是解题的关键． 5．(24-25九上·辽宁抚顺新抚区·期末)如图，正方形和正三角形都内接于半径为2的，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形的外接圆与外心，连接、、，根据正多边形的中心角的计算公式求出、，计算求出，根据弧长公式计算即可． 【详解】解：连接、、， ∵正方形和等边三角形都内接于， ∴，， ∴， ∴的长， 故答案为：． 6．(24-25九上·辽宁大连甘井子区·期末)如图，点A在上，半径，以点A为圆心，在上依次截取长度等于半径r的弦，，，，，连接，则六边形的面积为 ．（请用含r的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查圆的性质，等边三角形的判定与性质以及多边形面积的计算，解题的关键是判断出六边形是由六个全等的等边三角形组成． 先根据圆的半径和弦长相等判断出各个三角形的形状，再根据等边三角形面积公式求出一个三角形的面积，最后乘以三角形的个数得到六边形的面积． 【详解】解：如图，连接，过O点作交与H， 由题意六边形是正六边形，即可以分成六个全等的等边三角形，且． 在等边中，，，， ， ∴正六边形的面积． 故答案为： 7．(24-25九上·辽宁大连沙河口区·期末)如图，正五边形内接于，则 ． 【答案】72 【分析】本题考查了正多边形和圆，掌握圆的内接正多边形的性质是解题的关键． 根据正多边形和圆的性质进行计算即可求解， 【详解】解：∵正五边形内接于， ∴， 故答案为：72． 8．(24-25九上·辽宁大连沙河口区·期末)如图，正六边形内接于，点P在上且点P与点A，点B不重合，连接，，，用等式表示、、之间的数量关系是 ． 【答案】 【分析】本题考了查正多边形与圆，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，解直角三角形，正确地作出辅助线是解题的关键． 由正六边形内接于，得到，，在上截取，根据全等三角形的性质得到，，求得，过作于，根据直角三角形的性质得到，，求得，等量代换得到结论． 【详解】解：正六边形内接于， ，， 在上截取， 在与中， ， ， ，， ， ， ， 过作于， ，， ， ， 故答案为：． 9．(24-25九上·辽宁大连西岗区·期末)圆的内接正六边形的中心角是 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了圆与正多边形的关系，掌握中心角的计算方法是解题的关键． 根据圆、正六边形的性质求解即可． 【详解】解：圆的内接正六边形的中心角是， 故答案为： ． 10．(24-25九上·辽宁盘锦兴隆台区·期末)一个正多边形的中心角为，那么这个正多边形的边数是 【答案】4 【分析】本题考查的是正多边形内角和中心角的知识，掌握中心角的计算公式是解题的关键． 根据正n边形的中心角的度数为进行计算即可得到答案． 【详解】解：根据正n边形的中心角的度数为， 则， 故这个正多边形的边数为4， 故答案为：4． 11．(24-25九上·辽宁铁岭·期末)若的半径为，则它的外切正三角形与外切正方形的边长比为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正三角形内切圆、外切正方形的知识，首先根据正三角形内切圆的性质得到，从而得到圆外切正三角形边长；再根据正方形与圆的性质计算，即可得到答案． 【详解】的外切正三角形如图，和相切于点D， ∵的半径为， ∴, ∵, ∴, ∴, ∴, 的外切正方形如图，和、分别相切于点E，G， ∵的半径为， ∴， ∴的外切正方形变成为, ∴的外切正三角形与外切正方形的边长比， 故答案为：． 12．(24-25九上·辽宁铁岭铁岭县·期末)若正方形的边长为6cm，则其外接圆半径是 cm. 【答案】3 【分析】根据垂径定理，正方形的性质，构造直角三角形，用勾股定理解题即可. 【详解】如图所示：作OE⊥BC， ∵四边形ABCD是O的内接正方形， ∴∠OBE=45°，而OE⊥BC， ∴BE=CE， ∴EB=OE=3， ∴BO=3. 故其半径等于3. 故答案为3. 【点睛】本题考查多边形与圆.构造直角三角形是解题的关键. 地 城 考点11 扇形的弧长与面积 一、单选题 1．(24-25九上·辽宁抚顺县·期末)如图，点A，B，C在上，，连接，．若的半径为3，则扇形（阴影部分）的面积为（        ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用圆周角定理求出的度数，然后利用扇形面积公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 又的半径为3， ∴扇形（阴影部分）的面积为． 故选：D． 【点睛】本题考查的是圆周角定理，扇形面积公式等，掌握“同弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半”是解题的关键． 2．(24-25九上·辽宁大连庄河·期末)如图1，一个扇形纸片的圆心角，半径为4．如图2，将这张扇形纸片沿折叠，使点B与点O恰好重合，图中阴影为重合部分，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，，由折叠的性质可得，，，结合，进而可得，则是等边三角形，于是可得，由三线合一可得，由勾股定理可得，则，由此即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：如图，连接，， 由折叠的性质可得：，，， 又， ， 是等边三角形， ， 又扇形纸片的半径为4， ， ，， ，， ， ， 故选：． 【点睛】本题主要考查了求不规则图形的面积，折叠问题，求扇形面积，等边三角形的判定与性质，勾股定理，三线合一，三角形的面积公式等知识点，得出是等边三角形及是解题的关键． 3．(24-25九上·辽宁大连甘井子区·期末)折扇是中国传统工艺品，历史悠久．如图是一把完全打开的扇形折扇示意图，外侧两竹条，的夹角为，的长为，扇面的长为，则扇面的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了扇形面积的计算，根据扇形的面积公式，利用扇面的面积进行计算． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴扇面的面积 ． 故选：D． 4．(24-25九上·辽宁大连嘉汇集团·期末)若某圆弧所在圆的直径为2，弧所对的圆心角为，则这条弧长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了弧长计算公式，解题的关键是熟记弧长公式：（n是弧所对的圆心角度数），代入计算即可． 【详解】解：． 故选：A． 5．(24-25九上·辽宁大连汇文中学·期末)如图，AB是的直径，CD是弦，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了弧长公式．先根据平行线的性质得出，再根据圆周角定理得出，然后根据弧长的计算公式即可得． 【详解】解：如图，连接， 则， ∵，， ， ， 则的长为， 故选：C． 6．(24-25九上·辽宁大连甘井子区第八十中学·期末)如图，在扇形中，，半径，将扇形沿过点的直线折叠，点恰好落在上的点处，折痕交于点，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查折叠问题、等边三角形的性质、扇形面积；连接交于E，根据折叠可知，，，，进而可得是等边三角形，则，进而求得的面积，根据阴影部分面积求解即可． 【详解】解：如图所示，连接，交于E， ∵沿对折和重合，， ∴，，，， ∴，是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴阴影部分的面积 ． 故选：A． 7．(24-25九上·辽宁鞍山海城东部集团·期末)如图，正六边形的边长为2，以为圆心，的长为半径画弧，得，连接，，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用等六边形的性质计算出AC的长度，再根据扇形面积计算公式计算即可． 【详解】解：过B点作AC垂线，垂足为G， 根据正六边形性质可知，， ∴， ∴S扇形=， 故选：A． 【点睛】本题主要考查扇形面积的计算，根据正六边形性质计算出扇形的半径是解题的关键． 8．(24-25九上·辽宁大连甘井子区博伦中学·期末)中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为，曲线终点为，过点的两条切线相交于点，列车在从到行驶的过程中转角为．若圆曲线的半径，则这段圆曲线的长为（    ）．      A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由转角为可得，由切线的性质可得，根据四边形的内角和定理可得，然后根据弧长公式计算即可． 【详解】解：如图：    ∵， ∴， ∵过点的两条切线相交于点， ∴, ∴, ∴． 故选B． 【点睛】本题主要考查了圆的切线的性质、弧长公式等知识点，根据题意求得是解答本题的关键． 二、填空题 9．(24-25九上·辽宁盘锦双台子区·期末)如图，为半圆的直径，为半圆上一点，且，连接，以为圆心，长为半径画弧交于点，若，则阴影部分的面积为 （结果保留）． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理、勾股定理、扇形面积公式，根据圆周角定理，勾股定理求出的长是解题的关键． 先根据圆周角定理可得是等腰直角三角形，从而可得，再根据勾股定理可得的长，最后根据阴影部分的面积等于半圆的面积减去扇形的面积即可求解． 【详解】解：连接， ∵为半圆的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴在等腰中，， ∴， ∴阴影部分的面积为． 10．(24-25九上·辽宁大连西岗区·期末)如图，用一个半径为cm的定滑轮拉动重物上升，假设绳索粗细不计，且与滑轮之间没有滑动．若重物上升cm，则滑轮旋转的角度为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了弧长公式，解题的关键是熟练掌握弧长公式，．根据弧长公式进行计算即可． 【详解】解：，即滑轮旋转的角度为． 故答案为：． 11．(24-25九上·辽宁大连高新技术产业园区·期末)已知扇形的圆心角为，面积为，则该扇形的半径为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了扇形的面积．根据扇形的面积公式直接进行计算． 【详解】解：设扇形的半径为， 则， 解得：（负值舍去）， 故答案为：3． 三、解答题 12．(24-25九上·辽宁大连中山区·期末)如图，在中，，点是边上一点，以为直径的与边，分别相交于点，，且 (1)如图1，求证：是的切线； (2)如图2，连接，若，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，由得，根据三角形外角的性质得，从而判断，得到，从而可得出结论； （2）过点O作于点G．则为直角三角形．设的半径为r．求出，证明、为等边三角形，得出，解直角三角形求出，从而得出结论 【详解】（1）解：证明：如图1，连接 ． ． 又 ． ． 又 ． 又是半径， 是的切线； （2）如图2，过点作于点 ， 设的半径为 在中，， ，则． 同理，在中，， 则， ， 解得：， 为等边三角形， ， ， 又 为等边三角形， ， 在中，根据勾股定理得，， ． 【点睛】本题主要考查垂径定理，圆周角定理，切线的判定定理以及勾股定理，求扇形面积；正确作出辅助线是解答本题的关键． 13．(24-25九上·辽宁大连沙河口区·期末)太空漫步机是小区里常见的健身器材．双手握住扶手，两脚踩在踏板上，前后摆动双腿，就会带动踏板连杆绕轴旋转．如图1，静止时踏板连杆与立柱看作共线，长为0.2米．图2为运动时漫步机的示意图，当绕着点A旋转到时，测得，此时点C距离地面的高度为0.45米．求摆动一步的路程的长度（精确到0.1米，参考数据：，，，）． 【答案】摆动一步的路程约为0.8米 【分析】本题考查解直角三角形的应用，弧长公式，圆的性质，矩形的性质与判定，熟练应用锐角三角函数的定义是解题的关键． 过点C作于点H，先求出，再根据四边形是矩形得出，利用求出，最后根据弧长公式计算即可． 【详解】解：过点C作于点H， 在中，， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 即， 解得，， （米）， 答：摆动一步的路程约为0.8米． 14．(24-25九上·辽宁铁岭·期末)如图，是的直径，和是弦，且弦交直径于点，（点不与点A，重合），连接，，垂足为，． (1)求证：与相切； (2)若的半径是6，当于点，且时，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题主要考查了圆周角定理、圆的切线的判定、等边三角形的判定、扇形的面积公式等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）如图：连接，根据圆周角定理可得，再根据已知条件可得，然后根据等边对等角可得，进而得到，则；由平行线的性质可得，进而得到，最后根据切线的判定定理即可解答； （2）如图：连接、，先说明和都是等边三角形，即，则，进而得到的面积等于的面积，最后根据扇形的面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：如图：连接， ∵和都是所对的圆周角， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 又∵是的半径 ∴与切线． （2）解：如图：连接、， ∵于点，， ∴是的垂直平分线， ∴； ∵， ∵， ∴； ∴， ∴和都是等边三角形， ∴， ∴， ∴的面积等于的面积， ∴阴影部分的面积等于扇形的面积， ∵扇形的面积是， ∴阴影部分的面积等于． 15．(24-25九上·辽宁葫芦岛·期末)如图，是的内接三角形，是的直径，点在上，连接并延长，过点作交的延长线于点，交的延长线于点，． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了圆周角定理，平行线的判定和性质，切线的判定定理，勾股定理与弧长公式，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）连接，根据圆周角定理得到，进而得到，即可得到，可得出是的切线； （2）由题意得，根据圆周角定理得到，继而得到，根据勾股定理得出的半径，利用弧长公式计算即可得到答案． 【详解】（1）证明：如图，连接， ，， ， ， ； ， ， ， ； 是的半径， 是的切线； （2）解：， ； 设， ； 由（1）可知， ， 即， 解得：， ，； 设圆的半径为，则， 在中，， ， ， 即， 解得：， 的长为． 16．(24-25九上·辽宁铁岭·期末)如图，在中，，对角线，经过点，，与交于点，连接并延长与交于点，与的延长线交于点，． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长（结果保留）． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了圆的切线的判定、弧长、平行四边形的性质、含30度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握圆的切线的判定和弧长公式是解题关键． （1）连接，先证出，根据等腰三角形的性质可得，，从而可得，再根据圆的切线的判定即可得证； （2）连接，先求出，再根据勾股定理和含30度角的直角三角形的性质可得，然后证出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，最后利用弧长公式求解即可得． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 又∵是的半径， ∴是的切线． （2）解：如图，连接， ∵在中，，， ∴，， ∵， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， 由（1）已得：，， ∴在中，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的长为． 地 城 考点12 圆锥问题的相关计算 一、单选题 1．(24-25九上·辽宁大连瓦房店·期末)已知圆锥的底面积为，母线长为，则圆锥的侧面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了扇形的面积公式（，其中为弧长，为扇形的半径），熟练掌握扇形的面积公式是解题关键．先利用圆的面积公式求出圆锥的底面圆的半径，再利用扇形的面积公式计算即可得． 【详解】解：设底面圆的半径为， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， ∵这个圆锥的母线长为， ∴圆锥的侧面积是， 故选：D． 2．(24-25九上·辽宁大连中山区·期末)如图，圆锥底面圆半径为7cm，高为24cm，则它侧面展开图的面积是（    ） A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2 【答案】C 【分析】先利用勾股定理计算出AC=25cm，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则可根据扇形的面积公式计算出圆锥的侧面积． 【详解】解：在中， cm， ∴它侧面展开图的面积是cm2． 故选：C 【点睛】本题考查了圆锥的计算，理解圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长是解题的关键． 3．(24-25九上·辽宁营口·期末)小红拿出一张正方形的纸片，在上面剪出一个扇形和一个圆，尝试后发现圆恰好是该圆锥的底面，（圆心与圆锥顶点同在如图虚线上）测量后得知，圆锥母线长，则以下这张正方形纸片的边长是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的判定与性质，圆锥的母线长，勾股定理，依题意，列式，得出圆锥的底面圆的半径是，再证明四边形是正方形，则，正方形的对角线的长，即可作答． 【详解】解：设圆锥的底面圆的半径是， 依题意，， 解得， 如图：过点分别作 ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∴四边形是正方形， ∴ ∴正方形的对角线的长 则正方形的边长是， 故选：B 二、填空题 4．(24-25九上·辽宁抚顺新抚区·期末)2025年元旦即将来临，小聪同学用一张半径为的扇形纸板做一个如图所示的圆锥形“小丑”帽子侧面（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形“小丑”帽子的底面半径为．那么这张扇形纸板的面积是 ． 【答案】/平方厘米 【分析】本题考查了圆锥的计算，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算． 【详解】解：这张扇形纸板的面积是． 故答案为：． 5．(24-25九上·辽宁大连金普新区·期末)已知圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的侧面积为 【答案】 【分析】圆锥的侧面积(底面半径，母线长)，把相应数值代入即可求解． 【详解】解：∵圆锥的底面半径为，母线长为， ∴圆锥的侧面积， 故答案为：． 【点睛】本题考查圆锥侧面积的求法，掌握相应公式是解题的关键． 6．(24-25九上·辽宁大连庄河·期末)一个圆锥的侧面展开图形是半径为，圆心角为的扇形，则此圆锥的底面半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是圆锥的计算，理解圆锥的底面圆周长是扇形的弧长是解题的关键．根据弧长公式求出扇形的弧长，再根据圆的周长公式计算即可． 【详解】解：圆锥的侧面展开图扇形的弧长为：， 即圆锥的底面周长为， 此圆锥的底面半径为：， 故答案为：． 7．(24-25九上·辽宁大连西岗区·期末)圆锥的底面半径为，母线长为，则它的侧面展开图扇形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥侧面积计算，根据圆锥侧面展开面积公式进行计算即可，解题的关键是熟练掌握圆锥侧面展开面积公式，其中表示圆锥的底面半径，表示母线长． 【详解】解：∵圆锥的底面半径为，母线长为， ∴它的侧面展开图扇形的面积为， 故答案为：． 地 城 考点13 圆相关最值问题 一、单选题 1．(24-25九上·辽宁铁岭·期末)如图，是的直径，，点是圆上不与，重合的点，平分，交于，平分，交于．有以下说法：①点是定点；②的最大值为；③为的外心；④的最大值为．其中正确的有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】此题考查了圆周角定理，勾股定理，角平分线的定义等知识，熟记圆周角定理是解题的关键．①在同圆或等圆中，根据圆周角相等，则弧相等可作判断；②先根据勾股定理得：，由完全平方公式：，展开可作判断；③证明，可作判断；④根据完全平方公式，代入可得：，开方可判断． 【详解】解：① 平分， ， ， 是的直径， 是半圆的中点，即点是定点；故①正确； ② 是的直径， ， ， ，， ， ， ， 的最大值为，故②正确； ③ ， ， 平分， 平分， ，， ，， ， ， 为的外心，故③正确； ④ ， ， 即的最大值为，故④正确； 综上，正确的结论有4个． 故选：D． 2．(24-25九上·辽宁大连庄河·期末)如图，正方形的边长为，点与点分别为射线，射线上一点，且，连接，并交于点，点为边上一点，，连接，则线段长度的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，圆周角定理，最短路径问题，正确作出辅助线是解题的关键．取的中点，得到，根据正方形的性质可得：，，证明，得到，推出，得到点在以为直径的圆上运动，连接，当点在上时，线段长度的值最小，过作于，根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：如图，取的中点， 四边形是正方形， ，， 点是的中点， ， ，， ， ， ， ， 点在以为直径的圆上运动，连接，当点在上时，线段长度的值最小， ， 过作于， ，， ， ， ， 即线段长度的最小值为， 故选：C． 二、填空题 3．(24-25九上·辽宁铁岭·期末)如图，的圆心为，半径为1，是直线上的一个动点，过点作的切线，切点为，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆的切线的性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定、一次函数的应用，正确找出当时，的值最小，则取得最小值是解题关键．设直线分别与轴，轴交于点，连接，先求出，再根据圆的切线的性质可得，根据勾股定理可得，从而可得当时，的值最小，则取得最小值，然后根据等腰三角形的判定和勾股定理可求出，由此即可得． 【详解】解：如图，设直线分别与轴，轴交于点，连接， 当时，，解得，即， 当时，，即， ∴， ∵轴轴， ∴， ∵的圆心为，半径为1， ∴，， ∵是的切线， ∴，即， ∴， ∴当的值最小时，取得最小值， 由垂线段最短可知，当时，的值最小， ∴此时， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 4．(24-25九上·辽宁盘锦兴隆台区·期末)二次函数与x轴的正半轴交于点A，与y轴交于点B，以点为圆心半径为1的上有一动点D，则面积的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，三角形的面积公式，直线和圆的位置关系，求出圆心到的距离是解的关键．连接，过点作于，先求出的坐标，根据面积桥求出到的距离，再确定点到的最小距离，最后即可求出面积的最小值． 【详解】解：如图，连接，过点作于， 对于抛物线，令，， 解得， ， 令，，则， ， 点， ， ，即点到的距离为， ， 点到的最小距离为， 的面积的最小值， 故答案为：． 5．(24-25九上·辽宁营口·期末)如图，抛物线与x轴交于A，B两点，点P是以抛物线的顶点C为圆心，2为半径的圆上的动点，点Q是线段的中点，连接，则线段的最大值是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，抛物线与坐标轴轴的交点，三角形中位线定理，连接，设的延长线交于E，先求出点，点，点，由此得是的中位线，则，因此当为最大时，为最大，根据点与圆的位置关系可知为最大，然后再求出的长即可得出的最大值． 【详解】解：连接，设的延长线交于E，如图所示： 对于抛物线，当时，，当时，，或， ∴点，点，点， ∴， ∵点Q是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴当为最大时，为最大， 根据点与圆的位置关系可知：点A到上各点的距离中，为最大， ∴当点P与点E重合时，为最大，最大值为， 在中，由勾股定理得：， ∵的半径为2， ∴， ∴， ∴的最大值为． 故答案为：． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $丽学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 专题10圆 ☆13大高频考点概览 考点01点与圆的位置关系 考点02弧、弦、角的关系 考点03垂径定理 考点04圆周角定理 考点05圆内接四边形 考点06直线与圆的位置关系 考点07切线的判定 考点08切线的性质 考点09切线长定理 考点10正多边形与圆 考点11扇形的弧长与面积 考点12圆锥问题的相关计算 考点13圆相关最值问题 考点01 点与圆的位置关系 一、单选题 1.(24-25九上辽宁大连中山区期末)已知⊙O的半径为10，OP=6,则点P与⊙O的位置关系是() A.点P在⊙O内 B.点P在⊙O上 C.点P在⊙O外 D.不确定 2.(24-25九上辽宁盘锦兴隆台区·期末)如图，在⊙O中，点A为BC的中点，∠ABC=30°， AB=2,⊙O所在的平面内有一点D,若OD=3,则点D与⊙O的位置关系是() A.点D在⊙O外B.点D在⊙O上 C.点D在⊙O内 D.无法确定 二、填空题 3.(23-24九上辽宁鞍山期末)如图所示，己知矩形ABCD的边AB=3cm,AD=4cm,以点A为圆心作 圆，使B,C,D三点中至少有一点在圆外，且至少有一点在圆内，此圆半径R的取值范围是一· 1/38 丽学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 B 目目 考点02 弧、弦、角的关系 一、单选题 1.(24-25九上·辽宁大连金普新区·期末)如图，在⊙O中，AC=BD,∠AOB=50°，则∠COD的度数为 () A.60° B.30° C.40° D.50° 二、解答题 2.(24-25九上辽宁大连甘井子区·期末)如图，A,B,C,D是⊙O上的四个点，AC=DB,AC与DB交 于点M.求证：MA=MD B M 3.(24-25九上辽宁大连西岗区·期末)如图，在⊙O中，弦AB、CD于点E,且AB=CD.求证： AC=BD. 2/38 丽学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 D E B 目目 考点03 垂径定理 一、单选题 1.(24-25九上·辽宁铁岭·期末)如图，在⊙O中，OC⊥弦AB于点C,AB=4,OC=1,则OB的长为 () B A.17 B.15 C.5 D.3 2.(24-25九上辽宁大连中山区·期末)如图，已知AB是⊙O的直径，CD是OO的弦，AB⊥CD.垂足为 E.若AB-26,CD-24,则∠OCE的余弦值为() E /D B B. 2 13 D.3 12 3.(24-25九上·辽宁盘锦兴隆台区·期末)如图1是一位摄影爱好者拍摄的含章湖大桥，它位于盘锦市辽东湾 新区，是一座集交通枢纽和湖景于一体的跨湖桥，大桥采用了七跨上承式空腹拱桥的设计，分主拱和腹拱， 其中腹拱为圆弧形拱圈.如图2，如果用AB表示腹拱，假设腹拱下面的桥面AB的长度为80米，腹拱的高 度CD为20米，则该桥腹拱部分所在圆弧的半径是() 3/38 丽学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 图1 图2 A.30米 B.40米 C.50米 D.60米 4.(24-25九上·辽宁鞍山·期末)某输油管道运输时，油面最高位置如图所示，若油面最大深度为1.8米时， 污水横截面的宽度为2.4米，则排水管的半径是() A.0.9米 B.1.2米 C.1.3米 D.1.5米 5.(24-25九上·辽宁葫芦岛期末)如图，我市龙湾公园内有一座圆弧形拱桥，桥顶到水面的距离CD为4m, 它的跨度AB也为4m,则桥拱半径为() B A.2m B.2.5m C.3m D.4m 6.(24-25九上·辽宁铁岭期末)如图，在⊙O中，半径长为5，圆心O到弦AB的距离OE=3,则弦AB的长 为() B A.4 B.6 C.8 D.10 7.(24-25九上·辽宁盘锦大注区·期末)如图，在⊙O中，OD⊥AB,垂足为C,E为圆上一点.若 ∠AOB=120°，则∠E的度数为() 4/38 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B D A.60° B.30° C.45° D.20° 8.(24-25九上·辽宁沈阳浑南区东北育才学校：期末)如图，在半径为6cm的⊙O中，点A是劣弧BC的中点， 点D是优弧BC上一点，且∠D=30°，下列四个结论：①OA⊥BC;②BC=33cm:③扇形OCAB的 面积为12πcm2:④四边形ABOC是菱形.其中正确结论的序号是() A.①③ B.①②③④ C.②③④ D.①③④ 9.(23-24九上·辽宁营口·期末)如图，拱桥可以近似地看作半径为125m的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢 索垂直相连，这些钢索中最长的一根CD的长度为25m,那么其正下方的路面AB的长度为() C 钢索 B路面 D 桥拱 A.100m B.130m C.150m D.180m 10.(23-24九上·辽宁铁岭西丰县·期末)己知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于E点， BE=1,AE=5,∠AEC=30°，则CD的长为() E B A D 0 5/38 品学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 A.42 B.32 C.52 D.4 二、填空题 11.(24-25九上·辽宁大连庄河·期末)如图，⊙0的直径AB垂直于弦CD,垂足是E,己知∠A=22.5°， OC=2,则CD的长为一· 12.(23-24九上·辽宁盘锦兴隆台区第一完全中学期末)一次综合实践的主题为：只用一张矩形纸条和刻度 尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径？小聪同学所在的学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直紧贴 杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A,B,C,D四点，利用刻度尺量得该纸条宽为3.5cm, AB=3cm,CD=4cm.请你帮忙计算纸杯的直径为 cm. 三、解答题 13.(24-25九上·辽宁盘锦大洼区·期末)辽宁省拥有多座历史悠久的石拱桥.如图，这是被誉为“关外第一 桥”的天盛号石拱桥，它的主桥拱是圆弧形，跨度（弧所对的弦的长）为4米，圆弧所在圆的半径是 2.9m米，求拱高（弧的中点到弦的距离）. A---------------B 14.(24-25九上·辽宁铁岭期末)如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为0，直径AB是河底线，弦CD 是水位线，CD‖AB,且CD=24m.已测得水面距桥洞最高处有8m (即CD中点到CD的距离) 6/38 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)求半径OA: (2)根据需要，水面要以每小时0.5m的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？ 15.(24-25九上辽宁抚顺新抚区·期末)如图，AB为⊙O的直径，AB=10,点C为圆上一点，D为AC的 中点，连接DO,过点O作OE⊥DO交⊙O于点E,过点E作EF⊥AB,垂足为F,DO=4. (1)求AC的长： (2)求BF的长. 16.(24-25九上辽宁大连嘉汇集团期末)如图，AB是⊙O的弦，点D是AB的中点，连接OD并反向延长 交⊙O干点C.若AB=CD=8,求⊙O的半径. B 17.(24-25九上·辽宁盘锦双台子区·期末)《桥梁的设计》 某地欲修建一座拱桥，桥的底部两端间的水面宽AB=L(如图)，称为跨度，桥面 题 最高点到AB的距离CD=h称为拱高，拱桥的轮廓可以设计成是圆弧型或抛物线型， 的 若修建拱桥的跨度L=32米，拱高h=8米. 驱 动 7/38 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A B 设 计 方案一 方案二 方 案 设 计 圆弧型 抛物线型 型 c 4 c A 任 O A O(D) 务 (2)如图，设计成抛物线型，以AB所在 0 直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立 (1)如图，设计成圆弧型，求该圆弧 如图所示的平面直角坐标系，求拱桥的函 所在圆的半径。 数解析式 (3)如图，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形EFGH,测得EF=6.1米， 任 EH=16米.请你通过计算说明货船能否分别顺利通过这两座桥梁. 牙 水面 二 F 18.(23-24九上·辽宁葫芦岛连山区·期末)民以食为天.我们常见的炒菜锅可近似的看作抛物线面，锅盖可 近似的看作圆形面.经过锅心和盖心的纵断面是一段抛物线和圆弧线组合而成的封闭图形，不妨简称为 8/38 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 “锅线”，锅口直径AB为6dm,锅深OF为3dm,锅盖高OE为1dm(锅口直径与锅盖直径视为相同)， 建立平面直角坐标系如图1所示（单位：dm)，如果把锅纵断面的抛物线的记为C,把锅盖纵断面所在的 圆记作⊙M. B 0.5dm 0.5dm M ↑M 图1 图2 图3 (1)求抛物线C解析式和弧AB所在⊙M的半径： (2)锅中原有水的最大深度为1.5dm(如图2)，由于加工食物的需要，又重新加入一定量的水，水位升高 0.5dm,求此时的水面宽度： (3)如果将底面直径4dm,高度为0.5dm的圆柱形蒸笼若干个叠加起来（如图3）放入锅中蒸食物（不考虑 叠加缝隙)，为了让锅盖能够盖上，那么最多可以放入这种规格的圆柱形蒸笼多少个？ 考点04 圆周角定理 一、单选题 1.(24-25九上·辽宁鞍山期末)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OA并延长，以A为圆心，任意长 为半径画弧交射线OA于两点，分别以这两个交点为圆心，任意长为半径画弧，两弧交于点D,作射线AD, 若∠B=45°，∠BAD=75°，则∠BAC的度数是() B A.45° B.60 C.75° D.90° 2.(24-25九上·辽宁大连西岗区·期末)如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ABO=40°，则∠ACB的大 小为() 9/38 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.40° B.30° C.45° D.50° 3.(24-25九上辽宁铁岭期末)如图，己知AB是⊙O的直径，CD是弦，若∠BCD=36°，则∠ABD等于 () D B A.36° B.54° C.60° D.72° 4.(24-25九上·辽宁葫芦岛期末)如图，AB是⊙O的直径，点C,D在⊙O上，若∠BOC=112°，则∠D 的度数为() A.24° B.34° C.56° D.68° 5.(24-25九上·辽宁盘锦双台子区·期末)如图，⊙O的半径是5，∠ACB=60°，则下列各个量不能根据现 有条件求出的是() B A.∠AOB的大小 B.AB的长度 C.AB的长度D.△ACB的面积 10/38