培优09 圆的最值问题（含隐圆）（专项训练）数学北师大版九年级下册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 培优09圆的最值问题（含隐圆） 》划重点.冲高分 题型1点到圆距离的最值问题 题型2圆中线段和最值问题 题型3定点定长（隐圆）的最值问题 圆的最值问题 题型4定弦定角（隐圆） 的最值问题 (含隐圆) 题型590度圆（隐圆）的最值问题 题型6四点共圆（隐圆）的最值问题 题型7圆中翻折的最值问题 题型1点到圆距离的最值问题 解题大 点与圆的位置关系：①确定已知定点P和圆心O,计算圆心距OP;②点在圆外：到圆的最大距离为 OP+r,最小距离为OP-r;③点在圆内：最大距离为OP+r,最小距离为rOP(r为圆的半径)； 距离最值均在定点与圆心的连线所在直线与圆的交点处 1. 点P到⊙0的最近点的距离为2cm,最远点的距离为7cm,则⊙0的半径是 【答案】2.5cm或4.5cm 【详解】如图所示，当点P在圆内时， òp B '.PB=2cm,PA=7cm, .'AB=AP+PB=9cm, ∴.⊙0的半径是4.5cm: 1/48 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 如图所示，当点P在圆外时， B PB=2cm,PA=7cm, .'AB=AP-PB =5cm, ∴.⊙0的半径是2.5cm; 综上所述，⊙0的半径是2.5cm或4.5cm 故答案为：2.5cm或4.5cm 2.如图，⊙O的圆心O与正方形的中心重合，已知⊙O的半径和正方形的边长都为2，则圆上任意一点到 正方形边上任意一点距离的最小值为， ● 【答案】2-V巨-V2+2 【详解】解：如图，点B为⊙O上一点，点D为正方形上一点，连接BD,OC,OA,AB,OB, B 由三角形三边关系可得，OB-OD<BD,OB是圆的半径，为定值，当点D在A时，取得最小值， .当O、A、B三点共线时，圆上任意一点到正方形边上任意一点距离有最小值，最小值为OB-OA, 由题意可得，AC=2,OB=2, :点O为正方形的中心， .OA⊥OC,OA=OC, “.△AOC为等腰直角三角形， 2/48 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :04=4C=5, 2 圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值为OB-01=2-V5 故答案为： 2-V5 3.如图， 0的半径为，PT切⊙0于点了，PT=5,则点P到O0的最小距离是_ ⊙ 【答案】 6-1,-1+V6 【详解】解：：PT切⊙O于点T, .PT⊥OT, 在RtPTO中， PT=V5,0T=1 :.P0=VPT2+0T=V5+i=V6 ∴点P到o0 的最小距离是V6-1, √6-1 故答案为： 4.点A是半径为2的⊙O上一动点，点O到直线MW的距离为3.点P是MN上一个动点，在运动过程中 若∠POA=90°，则线段PA的最小值是一· M 【答案】 【详解】解：∠POA=90°， 3/48 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 PA=VOA2+OP2=4+OP2 当OP最小时，PA取最小值， 由题意得：当OP⊥MN时，OP最小，最小值为3， “.PA的最小值为： √4+32=3 故答案为： 13 【点晴】本题考查的是直线与圆的位置关系、垂线段最短、勾股定理的应用，根据勾股定理表示出PA的 长是解题的关键。 5.如图，在平面直角坐标系中， A(0,5)、B5,0,以点B为圆心、3为半径的OB上有一动点P.连接 AP,若点C为AP的中点，连接OC,则OC的最小值为() A. B.22-1 C. - D.2 【答案】A 0Q=OA OB PO 【详解】解：在y轴负半轴上取 ，连接 ,点C为AP的中点， :OC是△APg 是 的中位线， .0C- PO 当取得最小值时， OC的值最小，当点P在线段B上时，P吧的值最小，即0C的值最小 OB PO :40,5)B5,0j OA=OB=00=5 4/48 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.0B=V52+52=52 ,⊙B的半径为3， :P0=5W2-3 0c=P0=2-3 2 2 故选A. 【点睛】本题考查了图形与坐标的性质、勾股定理、圆的性质、三角形中位线，确定出OC最小时点P的 位置是解题关键，也是本题的难点 题型2圆中线段和最值问题 。一一一一。一一一一一 解 核心用“两点之间线段最短”+“圆的对称性”转化： ①若为“圆上一动点到两定点的线段和”，先利用对称性质将其中一个定点对称到圆的另一侧，连接对称 点与另一定点，该线段与圆的交点即为最值点，线段长为最小值： ②若含定线，结合垂径定理、切线性质将线段和转化为“定点到定点/定线的距离”求解，排除圆上不符 合条件的点。 6.如图，矩形ABCD中，AB=2,BC=3,以A为圆心，1为半径作⊙A.若动点E在⊙A上，动点P在 BC上， 则PE+PD的最小值是() A.4 B.5 C.6 D.7 【答案】A 5/48 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：如图，以BC为轴作矩形ABCD的对称图形A'BCD'以及对称圆，连接AD交BC于P,并 延长，交⊙A'于一点G,则DE'就是PE+PD最小值： B E ,矩形ABCD中，AB=2,BC=3，,圆A的半径为1， A'D'=BC=3,DD'=2DC=2AB=4,A'G=A'E'=1 AD=√AD2+DD=5 .AG=5-1=4, 即PE+PD的最小值为4， 故选：A. 4,3)⊙ 7.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点C的坐标为 C的半径为2，P为oC上的一点， PM⊥x轴，垂足为M,则OM+PM的最小值为 C 【答案】7-2V2 【详解解：设Px川，则M(x,0 OM+PM=x+y 设k=x+y,则y=-x+k (4,3)⊙ :点C的坐标为， C的半径为2，P为oC上的-点，PM上x轴， 6/48 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 根据勾股定理可得x-4+(y-32=2 代入y=大-不，得，=4+k--3=4 整理得2x-2k+2)x+(k-3)2+16=4 当△=0时直线y=-x+k与⊙C相切，则k取的最小值， :.[-(2k+2]-4×2[(k-3)2+12=0 k=7±2√2 解得： “当切点在C点的左侧时，《取得最小值，k=7-22 即OM+P 的最小值为7-22 故答案为： 7-2√2 8.如图，AB是⊙O的直径，AB=I0,BC,CD,DA是⊙O的弦，且BC=CD=DA,若点P是直径 AB上的一动点，则PD+PC的最小值为一 【答案】10 【详解】如图，作出点C关于AB的对称点C,连接CD, 则CD与AB的交点即为所求的点P,连接CP,CD=PC+PD, B B⊙0 BC=CD=DA “是的直径， 7148 ©函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 ∠B=×2×180°=60°， 23 AD=BC, ABIICD .∠BCD=120°， ∠Bcc-x60-0, .∠C'CD=120°-30°=90°， ,CD为圆的直径， :A1B▣⊙0 AB=10 是的直径， ∴.PD+PC的最小值为10 故答案为：10 【点晴】本题考查了轴对称确定最短路线问题，圆周角定理，垂径定理，以及弧、圆心角、弦之间的关系， 熟记各性质并求出CD是圆的直径是解题的关键 9.已，抛物线是-6-片与)油交于点4，与，销安于点月：C,点4关于抛物线对俗销的对你 点为点D,点E在y轴上，点F在以点C为圆心，半径为2的圆上，则DE+EF的最小值是一 A E B 【答案】23 【详解】解：令r0’则y=)x ×36-5=15, 8 1015) 令-00=员x-6-是 8,得x=4,5=8 8/48 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B4,0).C8,0 ,抛物线的对称轴为直线x=6,点A关于抛物线对称轴的对称点为点D, D(12,15) 作点D关于y轴的对称点H,连接CH交y轴的交点E,交圆C于点F,则DE=EH,H-12,1S), D E B ∴DE+EF=EH+EF=HF为最小值， :CH=V8+122+152=25, ∴.DE+EF的最小值为HF=CH-CF=25-2=23, 故答案为：23 10.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=2BC=6,BD=1,P在以B为圆心3为半径的圆上，则 AP+6PD的最小值为一· B 【答案】337 【详解】解：在AB上取点E,连接PE,使E 2 .AB=2BC=6, 9/48 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 BP BE 1 .AB BP 2' A B F D .·∠PBE=∠ABP :△PBEr△ABP, PE BP 1 .PA AB2 :.PE-1PA, 在BD延长线上取BF=9,连接EF,PF BF_BP=3, BD=1:则PBBD- 又：∠PBD=∠FBP, :.APBD∽△FBP, PF_PB=3, .PD BD ..PF =3PD, ..PA+6PD= =2(PE+PF), ∴当P为EF和圆的交点时PE+PF最小，即PA+6PD最小，且值为2EF, 3) ·EF=VBE2+BF2 +92=337 2 ∴.PA+6PD 的最小值为 EF-3v37 337 故答案为： 题型3定点定长（隐圆）的最值问题 。。 10/48 培优09 圆的最值问题（含隐圆） 题型1点到圆距离的最值问题 点与圆的位置关系：①确定已知定点P和圆心O，计算圆心距OP；②点在圆外：到圆的最大距离为OP+r，最小距离为OP−r；③点在圆内：最大距离为OP+r，最小距离为r−OP（r为圆的半径）； 距离最值均在定点与圆心的连线所在直线与圆的交点处 1．点到的最近点的距离为，最远点的距离为，则的半径是 2．如图，的圆心与正方形的中心重合，已知的半径和正方形的边长都为2，则圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值为 ． 3．如图， 的半径为， 切于点 ， 则点到的最小距离是 ． 4．点A是半径为2的⊙O上一动点，点O到直线MN的距离为3．点P是MN上一个动点，在运动过程中若∠POA=90°，则线段PA的最小值是 ． 5．如图，在平面直角坐标系中，、，以点B为圆心、3为半径的上有一动点P．连接，若点C为的中点，连接，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 题型2圆中线段和最值问题 核心用“两点之间线段最短”+“圆的对称性”转化： ①若为“圆上一动点到两定点的线段和”，先利用对称性质将其中一个定点对称到圆的另一侧，连接对称点与另一定点，该线段与圆的交点即为最值点，线段长为最小值； ②若含定线，结合垂径定理、切线性质将线段和转化为 “定点到定点/定线的距离”求解，排除圆上不符合条件的点。 6．如图，矩形中，，以A为圆心，1为半径作．若动点在上，动点在上，则的最小值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 7．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点C的坐标为，的半径为2，P为上的一点，轴，垂足为M，则的最小值为 ． 8．如图，是的直径，，，，是的弦，且，若点是直径上的一动点，则的最小值为 ． 9．已知，抛物线与轴交于点，与轴交于点，，点关于抛物线对称轴的对称点为点，点在轴上，点在以点为圆心，半径为的圆上，则的最小值是 ． 10．如图，在中，，，，在以为圆心3为半径的圆上，则的最小值为 ． 题型3定点定长（隐圆）的最值问题 第一步判定隐圆：若一动点到某定点的距离始终为定长，则该动点的轨迹是以定点为圆心、定长为半径的隐圆； 第二步转化求解：根据题意确定隐圆的圆心和半径，将原最值问题转化为“已知圆/定线与隐圆的位置关系”，结合前面题型的思路求线段/距离最值。 11．如图，等边三角形中，D是边上一点，过点C作的垂线段，垂足为点E，连接，若，则的最小值是 ． 12．如图，已知线段为的中点，在平面内运动，且始终保持不变，将绕点逆时针旋转到，连接，则的最大值是（   ） A． B． C．4 D． 13．如图，在矩形中，，，点，分别是，边上的点，且，点为的中点，点为上一动点，则的最小值为（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 14．如图，是的直径，C为上一点，且，P为圆上一动点，M为的中点，连接．若的半径为2，则长的最大值是（    ） A．2 B．4 C． D． 15．如图，在边长为2的正方形中，是边上一动点（不与点，重合），点关于直线的对称点为，求正方形的中心与点距离的最小值（    ） A．1 B． C． D． 16．如图，在中，，，，将绕点B顺时针旋转得到（点、的对应点分别是点、)，取的中点，连接，则线段的最大值为 ． 17．在矩形中，，，点是平面内（可以在矩形外部）一动点，且满足，为的中点，点运动过程中线段长度的最小值是 ． 题型4定弦定角（隐圆）的最值问题 第一步判定隐圆：定弦所对的定角为圆周角时，动点的轨迹是以定弦为弦、定角为圆周角的两段隐圆弧（注意排除定弦两端点），用“圆周角定理”确定隐圆的圆心和半径； 第二步转化求解：确定隐圆后，将最值问题转化为“定点到隐圆上点的距离/隐圆上点到定线的距离”最值 18．如图，在中，，，点为边上一动点，连接，以为斜边在右侧作，，，连接BD，随着点的运动，线段的最小值为（   ） A． B． C．2 D． 19．如图，为等边三角形，．若P为内一动点，且满足，则线段长度的最小值为（    ） A． B． C． D．2 20．如图，正方形的边长为1，E，F分别在，上，且，于点G．则的长的最小值为 ． 21．在中，，，，在平面内有一点P，且始终有，则的最小值为 ． 22．如图，在等边三角形中，，是边上的一动点，以为边向上作等边三角形，连接，则的最小值为 ． 23．如图，在中，，，．点是上一动点，以为斜边向右侧作等腰直角三角形，使，连接． （1）若点E恰好落在上，则的值为 ； （2）线段的最小值为 ． 题型5 90度圆（隐圆）的最值问题 第一步判定隐圆：若一动点与两定点的连线始终垂直（夹角为90°），根据“直径所对的圆周角为90°”，动点的轨迹是以两定点连线为直径的隐圆（注意排除两定点）； 第二步转化求解：确定隐圆的圆心（两定点连线中点）和半径（连线长的一半），再结合已知条件求线段、距离的最值。 24．如图，在正方形中，点、分别是、边上的动点，且，垂足为，连接．若正方形的边长为1．则线段的最小值为（   ） A． B． C． D． 25．如图，在矩形中，，点是边上一点，连接，将沿直线折叠得到，连接交于点，连接，则线段的最小值为（    ）    A． B． C． D． 26．如下图，在平面直角坐标系中，已知点，，为平面内的动点，且满足为直线上的动点，则线段长的最小值为（   ） A． B． C． D． 27．如图，在中，，，，是内部的一个动点，满足，则线段的长度最小值为（　　） A．2 B．4 C．5 D．7 28．如图，菱形的边长为4，，为边上的中点，P为直线上方左侧的一个动点，且满足，则线段长度的最大值是（　　） A． B．4 C． D． 29．如图，是的直径，，C为半圆O的三等分点（靠近点A），P为上一动点．则的度数是 ；若D为的中点，则线段的最小值为 ． 题型6四点共圆（隐圆）的最值问题 第一步判定四点共圆：根据圆内接四边形性质（对角互补、外角等于内对角）或“同弦所对圆周角相等”，判定四个点共圆，确定该隐圆的圆心和半径； 第二步转化求解：将原最值问题转化为 “隐圆上的点到定点/定线的距离”nn或“隐圆内的线段”最值，结合圆的基本性质和前几类题型思路求解。 30．如图，在矩形中，，点E、F分别是所在直线上的动点，连接，以为边，在上方作等边，H为的中点，连接， 则 °，的最小值为 ．    31．如图，为半圆的直径，为的中点，为上任意一点，连接，，过点作交于点，连接．若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 32．如图，点O为正方形的对称中心，点E为边上的动点，连接，作交于点F，连接，P为的中点，G为边上一点，且，连接，则的最小值为 ． 33．如图，菱形中，，点是边上的点，，，点是上的一点，是以点为直角顶点，为角的直角三角形，连接．当点在射线上运动时， （）当时， ． （）线段的最小值为 ． 题型7 圆中翻折的最值问题 34．如图，的半径为6，将劣弧沿弦翻折，恰好经过圆心O，点C为优弧上的一个动点，则面积的最大值是（    ） A． B． C． D． 35．如图，是半径为的的弦，将弧沿将翻折后，恰好经过圆心，点是翻折的弧上的一动点；连接并延长交于C，点为的中点，连接，则的最小值为 ． 36．如图，已知扇形中，圆心角，半径，点为．上一点，将沿翻折后交于点，点分别为中点，过点作与翻折后的弧线交于点，则的最小值为 ． 37．如图：在半圆中，是半圆上的一个点，将沿弦折叠交直径于点，点是的中点，连接，若的最小值为，则 ． 38．如图，是半径为4的的弦，且，将沿着弦折叠，点C是折叠后的上一动点，连接并延长交于点D，点E是的中点，连接.则的最小值为 ． 39．如图，在中，将劣弧沿弦折叠得弧，P是弧上一动点，过点P作弧的切线与交于C，D两点，若⊙O的半径为13，，则的长度最大值为 ． 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $